AIME与AMC10/12考试难度有何差异？附AIME备考建议

★ 参赛条件：

AMC10/12竞赛成绩达到AIME的分数线的考生。

★ 竞赛时长：

180分钟

★ 考试日期：

2024年2月1日（AIME I）

2024年2月7日（AIME II )

*参赛者只可选择其中一场参加

★ 试卷构成：

15道填空题。

★ 评分标准：

每题1分，满分15分。答错或不答都不得分。

差异一：不同的考试形式

差异二：更多的知识点

AIME是一种填空题形式的竞赛，相比选择题，填空题的难度更大。在填空题中，没有提供任何参考信息，需要完全依靠自己的知识和技巧来解答。

AIME与AMC相比，在广度和深度上AIME都是AMC的加强版，如果不去强化复习，大体上来说，AIME和AMC的分数可能会呈现如下的对应关系：

若想要晋级USA（J）MO至少要答对8-9道题。

从AIME晋级USA（J）MO会综合AIME考试成绩及AMC10/12的成绩。

USAMO标准分数=AMC12分+10×AIME分数。

USAJMO标准分数=AMC10分+10×AIME分数。

AIME 7分以上在申请中就是一个比较有竞争性的分数了，申请ROSS，SUMaC等数学夏令营需要在9分左右。

根据AIME竞赛历年的分数线数据，可以看出AIME竞赛的平均分数集中在5分左右。这意味着大多数学生在15道题中通常只能正确解答其中的5道题。

代数：无

几何：三角形的多心问题 根轴与根心 塞瓦定理（Mass point方法） 位似变换

数论：高次同余方程 指数型同余计算问题（费马小定理与欧拉定理、LTE引理、阶与原根相关定理） 线性不定方程

组合：无穷时间状态的期望问题 标数递推 生成函数计数

代数：对数 三角函数 复数与单位根 多项式的根 圆锥曲线 三维坐标系 多重数列求和

几何：圆幂 圆内接四（多）边形 内心与圆外切四边形 正余弦定理 Stewart定理

数论：中国剩余定理

组合：递推计数 插板法

就考试内容而言，AIME学术活动和AMC12考察范围大致相同，仍然是算术、代数、计数、几何、数论、概率以及其他高中数学知识(微积分不在数学学术活动考查范围内，但允许使用微积分方法解题)，但内容深度会更高。

*新增知识点：

几何：涉及三角形的多心问题、根轴与根心、塞瓦定理（Mass point方法）、位似变换等；

数论：包括高次同余方程、指数型同余计算问题（费马小定理与欧拉定理、LTE引理、阶与原根相关定理）、线性不定方程等；

组合：涉及无穷时间状态的期望问题、标数递推、生成函数计数等内容。

AIME 题目的最大特点就是灵活性和综合性。因此需要考生有很强的思维发散性，不要禁锢于某些刻板的公式和套路，而是真正去理解、思考、联想，找到隐藏在众多表面线索背后的本质。

AIME的题目往往都有很多的切入点，但真正适合的方法可能只有少数。

例如代数部分AIME虽然没有新增的知识点，但是非常重视代数变形和计算的技巧，如特殊值、抽象化、整体代换、因式分解、递推、对称式、自相似、二元二次方程的计算技巧、赋予代数式几何含义等等。

这些技巧都非常灵活，不是死记硬背就可以套用的公式，需要考生拿到题目时，进行思考、分析、尝试，找出最合适的方法。此外，几何题和组合题也有类似的特点。

AIME的很多题目都可能会涉及多个模块的知识点，以及不同的解题技巧。

例如一道三角函数的题目，可能会牵扯复数和多项式的技巧以及几何的性质；一道几何的题目，可能会用复数和坐标系的方法；一道代数的题目如果有很多整数的条件，可能会和数论有很大的关系；一道概率计算的题目，可能最终是一个递推数列求解或者多重数列求和的问题。

AIME竞赛真题的难度和试题分布每年都会有一定的变化，没有明确的考纲，只靠多刷AIME真题而缺乏解题思路分析是很难获得高分的。以下我们给出的AIME竞赛备考的几点建议：

对于那些已经通过AMC10的同学，有一部分可能想要尝试参加AIME，但是可能会觉得代数部分的考点较难，因为可能之前没有接触过相关的知识点。我们建议对于对数学感兴趣的同学，可以先加强一下几何部分的知识基础，因为几何相对较容易理解，更容易掌握。你们不需要刷完整套的AIME卷子，可以只做每份卷子的前5题。

在申请中，达到AIME 7分以上可以说是一个相对有竞争力的分数了。我们建议大家先确保前5题的准确率，这部分可以适当放宽时间，只要能在45分钟内完成即可。在确保准确率的基础上，对于后面的6-10题，要做好选择取舍，对于11-15题，要仔细阅读题目，寻找灵感。

对于目标定在AIME 10分以上的同学，我们建议先确保前10题的正确率，可以通过反复练习的方式来达到这个目标。我们也建议做一道题就检查一道题，可以将A4纸对折，将计算步骤清晰地写下来，这样在检查时会更方便。第11-15题整体难度较大，但并不是每道题都非常难。大家可以选择自己擅长的题目来完成，不要在一道题上花费过多时间。

AMC12晋级AIME竞赛容错率要高AMC10，以下是2018年至2021AMC10/12晋级AIME比例：

AMC10晋级AIME的分数线比AMC12晋级AIME的分数线高出20%左右。

考虑到AMC10和AMC12有40%-60%完全一样的题目(10-15道完全一样的题目)，并且这些相同题目中的大多数难度比较小。

所以达到AMC12晋级分数比达到AMC10晋级分数相对容易一些，即AMC12晋级AIME要求做对题目会更少一些，同时AMC12晋级AIME比例会更高一些。

AMC12的含金量要高于AMC10，大学在做录取决定的时候，对AMC12看得比AMC10要重得多。

原因有两点，第一，AMC12涵盖了高中阶段除了微积分以外的其他知识但是AMC10只涵盖了其中的一部分；第二，AMC12的难度高于AMC10。