AIME数学竞赛知识点全解析——从代数到组合的终极战场

01 知识框架：AIME与AMC10/12的5大核心差异

AIME竞赛覆盖算术、代数、几何、数论、组合五大领域，但相比AMC10/12呈现显著升级：

• 代数：新增对数、三角函数、复数与单位根、圆锥曲线，难度直逼国内高考压轴题。
• 几何：从基础定理跃迁至根轴定理、塞瓦定理、位似变换，平面几何复杂度提升300%。
• 数论：强化高次同余方程、原根与阶、LTE引理，中国学生平均失分率高达45%。
• 组合：引入生成函数、无穷状态期望，需掌握AMC未涉及的递推与插板法。
• 计算量：AIME单题计算量为AMC的5倍，15题需完成超200步运算。

重点：AIME题目常串联3个以上知识点（如“复数+数论+几何”），要求学生具备跨模块解题能力！
 

02 知识点分层：从入门到崩溃的7大致命陷阱

陷阱1：AIME复数与三角函数

• 高频题型：欧拉公式$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$与复数幂运算结合。
• 破解策略：掌握复数几何意义（旋转、缩放），避免死记公式。

陷阱2：圆幂与根轴定理

• 经典错误：混淆圆幂定义（$PA\cdot PB=P{T}^2$）与根轴性质（两圆等幂点轨迹）。
• 满分技巧：构造辅助圆，用反演法简化复杂几何关系。

陷阱3：中国剩余定理（CRT）

• 常见误区：盲目套用CRT解同余方程，忽略模数互质条件。
• 进阶方案：结合裴蜀定理处理非互质方程组。

陷阱4：生成函数与递推

• 难点突破：用母函数解组合数列问题时，需识别斐波那契型递推。

• 工具推荐：记忆斐波那契通项公式：$F_n=\frac{{\phi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}}$。

03 备考资源：前1%学霸的4大武器库

1. 真题库：2010-2024年AIME中英双语真题（含详细解析）。
2. 课程包：机构AIME冲刺班，覆盖复数、数论等难点模块。
3. 工具书：《AoPS AIME Prep》《数论与组合进阶手册》。
4. 模考系统：机构全真模考平台，含AI错题分析与难度预测

犀牛AIME竞赛培训课程

为了帮助大家更好地备考 AIME 数学竞赛，犀牛特别推出了AIME数学竞赛培训课程。AIME数学竞赛课程由经验丰富的数学竞赛教师团队授课，涵盖AIME数学竞赛考试的所有知识点和解题技巧。

 

犀牛精选美国TOP30，英国G5的国内外一流大学的博士、硕士背景的老师，多年授课经验，精通各类竞赛打法~

 

 

✅犀牛AIME数学竞赛培训分阶段教学：分为基础、强化、冲刺三个学习阶段。

 

• 基础阶段帮助学生打牢知识基础，理解基本概念和原理；

• 强化阶段注重知识点的深化和拓展，通过大量的例题和练习，让学生掌握各种解题方法和技巧；

• 冲刺阶段则主要进行模拟考试和真题演练，培养学生的考试策略和时间管理能力。

 

✅课程类型：4-8人小班授课/一对一授课模式

✅授课模式：线上/线下同步授课，有课程回放录像可供复习

✅授课语言：中英双语教学/纯英文授课

 

 

 

 

 

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班级名称	班型
AIME冲刺A班	小班课 1对1 自组班 均支持
AIME冲刺B班
AIME冲刺C班
AIME模考点评A班
AIME模考点评B班
AIME模考点评C班
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犀牛AIME竞赛线上课程采用线上直播，区别于传统线上录播课程，可随时与老师在线互动答疑，课后可以回放，重复学习，直至掌握相关知识点。