AIME 倒计时 100 天：代数模块得分技巧，这 5 类题型必须吃透

距离AIME考试只剩100天了！ 代数作为 AIME 考试中占比最大的模块，往往是拉开分数的关键。今天我们就来揭秘代数模块中最容易拿分的5类题型，让你在最后冲刺阶段事半功倍。

多项式恒等变形是 AIME 代数部分的基础题型，几乎每年必考。这类题目看似简单，但往往暗藏玄机。最经典的考法是给出一个多项式等式，要求求出某个特定系数的值。解题关键在于巧妙赋值和观察对称性。

比如2022年 AIME I第1题，通过令x=1和x=-1就能快速求出答案。建议每天练习3-5道这类题目，培养对多项式结构的敏感度。记住：看到多项式等式，先想能不能用特殊值代入！

函数方程在 AIME 中出现的频率越来越高，但难度其实并不大。90%的函数方程题都可以用"猜函数"的方法解决。常见套路包括：线性函数、多项式函数、指数函数等。

解题时要特别注意题目给出的特殊条件，比如f(0)=1或者f(1)=2，这些都是确定函数形式的关键。建议重点掌握柯西函数方程的解法，这是AIME中最常考的类型。遇到函数方程不要慌，先试试最简单的线性函数！

数列递推问题在 AIME 中几乎年年出现，而且分值较高。特征方程法是解决这类问题的万能钥匙，无论是线性递推还是分式递推都能应对。

特别要注意的是， AIME 经常考察非常规递推关系，比如an+1=an+f(n)这种类型。对于这类题目，累加或累乘法往往能派上大用场。建议把近5年的数列题都做一遍，感受出题人的思路。

不等式在AIME 代数部分占比较大，但大部分题目都不需要高深的不等式知识。掌握好均值不等式、柯西不等式和排序不等式这三个基本工具，就能解决80%的问题。

解题时要注意观察等号成立的条件，这往往能提示解题方向。特殊值法在不等式证明中也非常有效，可以先猜测极值点再验证。建议每天练习2-3道不等式题目，培养对不等式结构的直觉。

组合恒等式在 AIME 中出现的频率虽然不高，但一旦出现就是送分题。掌握几个基本的组合恒等式，比如二项式定理、范德蒙德恒等式等，就能轻松应对。

这类题目通常需要一定的观察力和创造力，建议多积累一些常见的组合数变形技巧。遇到复杂的求和问题，先想想能不能用生成函数解决。虽然AIME不要求掌握生成函数的理论，但简单的应用往往能大大简化问题。

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