AMC8 数学竞赛的备考中，公式是最直接的 “得分工具”。不少考生花费大量时间刷题，却因核心公式掌握不牢，导致简单题耗时过长、难题找不到突破口。其实，把 20 + 核心公式背熟用透，就能快速提升解题效率，轻松搞定 AMC8 竞赛中的大部分基础题和中档题。今天这份公式汇总聚焦 “背会直接用”，按高频考点分类整理，附带实战用法解析，帮你用最短时间掌握公式应用精髓！
在 AMC8 竞赛中，公式的作用不止于 “计算答案”，更是提升解题效率的关键：
- 基础题 “秒解”：80% 的基础题可直接套用公式，比如用三角形面积公式 30 秒算出结果，无需复杂推导。
- 中档题 “破局”：中档题的解题关键往往是公式变形，比如用勾股定理变形求直角三角形边长，用容斥原理算重叠问题。
- 难题 “分步得分”：即使是难题，套用公式写出关键步骤也能拿分，比如几何题写出面积公式、数列题写出求和公式。
AMC8 竞赛时间紧迫，背会公式能帮你节省大量推导时间，把精力集中在难题突破上，提分效果立竿见影。
二、20 + 核心公式分类精讲：背完就能直接用
（1）代数与算术高频公式（7 个必背）
通项公式 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)（\( d \)为公差），前 n 项和 \( S_n = n \times a_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d \)。
✅ 直接用：已知首项、公差和项数，可快速算任意项或总和，比如 “首项 2、公差 3 的等差数列前 5 项和” 直接套公式得 40。
前 n 项和 \( S_n = a_1 \times \frac{q^n - 1}{q - 1} \)（\( q > 1 \)时更方便计算）。
✅ 直接用：避免分数运算出错，比如 “首项 1、公比 2 的前 6 项和” 套公式得 63。
平方差 \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)，完全平方 \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \)。
✅ 直接用：快速分解因式或化简计算，比如 “25² - 24²” 用平方差公式秒算得 49。
总和 = 平均数 × 个数，加权平均数 \( \bar{x} = \frac{æ»å + æ°å¢æ°}{æ»ä¸ªæ° + 1} \)。
✅ 直接用：快速求平均数或补全数据，比如 “5 个数平均 8，加一个数后平均 9，新增数为 14”。
（2）几何必会公式（8 个实用公式）
三角形 \( S = \frac{1}{2} \times åº \times é« \)，梯形 \( S = \frac{(ä¸åº + ä¸åº)}{2} \times é« \)，圆 \( S = \pi r^2 \)。
✅ 直接用：结合图形性质快速计算，比如直角三角形两条直角边为 3 和 4，面积直接算 6。
直角三角形 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，常用勾股数（3,4,5）（5,12,13）。
✅ 直接用：看到直角三角形边长，优先用勾股定理，比如斜边 5、直角边 3，另一直角边直接得 4。
圆周长 \( C = 2\pi r \)，扇形弧长 \( L = \frac{n}{360} \times 2\pi r \)，面积 \( S = \frac{n}{360} \times \pi r^2 \)。
✅ 直接用：已知圆心角和半径，快速算扇形面积，比如半径 6、圆心角 60° 的扇形面积得 6π。
长方体 \( V = é¿Ã宽Ãé« \)，圆柱体 \( V = \pi r^2 h \)。
✅ 直接用：结合题意找棱长或半径，比如长方体长 3、宽 2、高 4，体积直接算 24。
（3）数论与组合核心公式（6 个高频）
若 \( N = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k} \)，因数个数为 \( (a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1) \)。
✅ 直接用：分解质因数后快速算因数个数，比如 12=2²×3¹，因数个数为 (2+1)(1+1)=6。
- 最大公因数与最小公倍数：\( aÃb = \gcd(a,b)Ã\text{lcm}(a,b) \)。
✅ 直接用：已知两数和最大公因数，快速算最小公倍数，比如 a=12，b=18，gcd=6，lcm=36。
- 组合数公式：\( C(n,k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \)，性质 \( C(n,k) = C(n,n - k) \)。
✅ 直接用：简化计算，比如 \( C(10,8) = C(10,2) = 45 \)，避免复杂阶乘运算。
两集合 \( |AâªB| = |A| + |B| - |Aâ©B| \)。
✅ 直接用：算重叠问题，比如 “50 人参加 AB 活动，30 人参加 A，25 人参加 B，都参加的有 5 人”。
三、公式记忆 3 大妙招：背得快、用得顺
（1）“题型绑定” 记忆法：看到题就想起公式
把公式和对应题型绑定，形成条件反射：
- 看到 “第 n 项”“前 n 项和”→ 等差数列 / 等比数列公式；
每天用 5 分钟做 “题型→公式” 联想训练，3 天就能形成记忆链。
（2）“实例验证” 记忆法：用例题帮公式 “扎根”
每个公式配 1 道简单例题，通过计算验证加深记忆：
- 记等差数列公式时，用 “1,3,5,7... 前 4 项和” 验证；
- 记组合数公式时，用 “从 3 人中选 2 人” 算 C (3,2)=3 验证。
实例验证能让公式记忆更深刻，避免 “背完就忘”。
（3）“易错点” 标注法：提前避开应用陷阱
在公式旁用红笔标注易错细节：
- 等比数列求和公式注明 “q≠1”，避免 q=1 时误用；
- 扇形公式标注 “n 是圆心角度数”，别与圆周角混淆。
四、公式实战用法：3 步让公式 “活起来”
（1）第一步：判断题型，锁定公式
拿到题目先定位核心考点，比如 “求第 10 项的值”→ 等差数列通项公式；“算阴影部分面积”→ 圆或三角形面积公式。
（2）第二步：提取数据，代入公式
从题目中找公式所需参数，比如等差数列题找首项、公差、项数；几何题找底、高、半径等，直接代入公式计算。
（3）第三步：结果验证，用公式反向检查
算出答案后，用公式反向验证：比如用 “总和 = 平均数 × 个数” 检查平均数是否正确；用勾股定理逆定理检查三角形是否直角三角形。
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