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哈喽哈喽！又到了AP课程 知识的分享环节啦！想必小伙伴们在学习AP calculus BC 的时候肯定会不时的怀疑自己，为什么我pre cal 的时候学的都挺简单的， 但是一到了AP calculus BC 就觉得知识不够用了。
好多定理和名称啊，根本记不住并且记住了也无法理解这些到底是怎么推导的。
那么今天，我们就来分享一个AP calculus BC 的必备考点：Euler’s method (欧拉方法）
说起Euler’s method (欧拉方法)，就不得不说起之前所学习的一种方法linear approximation。
Linear approximation 就是通过函数当中的某一个点x0 所在的切线去预估（estimate）a 点所在的y 值：
Tangent line of f（x） at x0 ：y-f(x0)= f’(x0)(x-x0)
y=f’(x0)(x-x0)+f(x0)
f(a)≈f’(x0)(a-x0)+f(x0)
Linear approximation 通常用于比较容易预估的情况，但是如果a 点距离x0 越远，那么我们预估的数值就会距离实际的函数值f（a）越大，如下图：
为了防止这种情况，我们可以在linear approximation 的基础上在x 和x2 之间进行迭代，那么我们就可以这个误差区间如下图：
f(x1)≈f’(x0)(x1-x0)+f(x0)
f(x2)≈f’(x1)(x2-x1)+f(x1)
也就是说在x0 到x2 之间平分一次得到x1，用linear approximation 的方法可以求出x1 所在的具体坐标（x1，y1），然后我们以（x1，y1）作为基础点再用linear approximation 的方法可以求出x2 的具体坐标（x2，y2）。
那么这种利用linear approximation 的方法将x0 到x2 进行平均切割从而减少误差的方法就是我们所说的Euler’s method (欧拉方法)啦！
注意哦，如果x0 到x2 当中平均切割的份数越多，那么我们所得的数值与实际数值越精确！
以 2019 年AP calculus BC 的选择题：
 一个坐标（0,2），需要我们去预估当x=-0.4 时，y 的值， 并且使用欧拉方法 2 次
在题目中using Euler’s method with two steps 的意思就是把x=0 到x=-0.4 之间平均分成 2 个部分去做，换句话说，已知x0=0，求x2=-0.4 时，所对应的y2 是多少。
也就是说：
x0=0，x1=-0.2，x2=-0.4
f(x1)≈f’(x0)(x1-x0)+f(x0)
X0=0, f(x0)=2, x1=-0.2
f’(x0)=y0=0+2*2=4
f(x1)≈4*(-0.2)+2=1.20
那么第二次：
f(x2)≈f’(x1)(x2-x1)+f(x1)
X1=-0.2， f(x1)=y1=1.20, x2=-0.4
f’(x1)=-0.2+2*1.20=2.20
f(x2)≈2.20*(-0.2)+1.20=0.76
所以答案就是A 啦！
当然，欧拉方法肯定不仅限于会出选择题，在FRQ 当中也会有欧拉方法的考点:
那么根据题目上面来看可以知道初始点为x=1，也就是x0=1，然后需要我们去估算当x=2 的y 值也就是f（2），其中需要我们做两次（with two steps of equal size），也就是说在x=1 到x=2 当中平均分成两份，即可得x1=0.5，x2=2
根据公式可知：
f(x1)≈f’(x0)(x1-x0)+f(x0)
f’(x0)=dy/dx (x,y)=(1,4)=4*1ln1=0
F(1.5)=0*0.5+4=4
f(x2)≈f’(x1)(x2-x1)+f(x1)
f’(x1)=dy/dx (x,y)=(1.5,4)=4*1.5ln1.5
F(2)=(4*1.5ln1.5)*0.5+4=3ln1.5+4
因为这一道题是不允许用计算器来完成的，也就是说ln 的值具体是多少我们是不知道的，所以答案有ln 就保留ln
如果题目是在可以用计算器来完成的情况下就可以直接使用计算器进行求值即可哦，记得别按错数值咯~
综上所述为AP calculus BC 当中关于欧拉方法的知识点的总结和技巧解析，希望对正在备考的同学们看到后有所帮助哦。
其实AP calculus BC 是需要不断地进行练习， 差缺补漏，然后不断提高的一门课程，只要肯练习，找到相应的规律，那么拿 5 分并不是一件非常痛苦的事情，希望同学们都能去到自己想去的大学！
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