建议收藏 | 5分学生都在看的AP微积分复习指南！

考前必看

 

1.要点总结

以下为AP微积分AB/BC中相对不容易掌握的知识点，检验一下自己的掌握情况吧。

· 导数应用（图像）：图像题融合了增减性，最值，凹凸性，拐点等众多知识点，对概念的清晰掌握和逻辑能力的要求都不低。

· 导数应用（相关变化率）：多个变量间的关系相对复杂，题目比较灵活，计算量也偏大。

 

· 分部积分（BC）：计算量偏大，系数容易出错。

 

· 解微分方程：步骤较多，对计算要求比较高。

 

· 极坐标（BC）：与直角坐标差异较大，图像可能会比较复杂，将解析式转化成图像有一定难度。

 

· 体积问题：需要一定立体图形想象力，抽象程度高。

 

· 级数（BC）：整章抽象程度都比较高，相对难以理解的章节，需要理解记忆的知识点也比较多。

 

2、FRQ答题规范

 

 

以2023年FRQ第一题为例，根据答案中的评分标准，在（b）问中得到满分需要列式表示出平均值，并得出正确答案。

 

需要同学们注意的是，即使是计算器部分的简答题，也要先列式再写出答案；一方面这样才能拿全步骤分，另一方面即使答案不准确，也不至于丢掉所有分数。

 

 

 

在更复杂的（d）问中得到满分，则需要写出完整的求global maximum的过程。

 

可以看出，论述过程并不需要长篇大论的英语，同学们只要按照解题步骤把过程写清楚，在用数学符号表达不清时配合上一些少量英语表述即可。过程的严谨才是得分的关键。尤其注意在使用Mean Value Theorem这样的定理时需要写清楚定理的条件，所以在复习时不要只关注定理的结论，也要注意在什么条件下定理才成立。

 

2. 求极限：若代值可以得到结果则代值运算，若不能则选择以下方法

· 比较最高次项

4. 渐近线

▼例题：

 

本题答案为：C，求垂直渐近线时，需注意约分后再看分母何时为0

▼例题：

7. 导数运算公式

· 链式法则

▼例题：

本题答案为：D

对于参数方程，可以分别找到x关于t的导数和y关于t的导数，再进行计算。

对于高阶导数，可以对一阶导数的结果再次求导即可得到二阶导。

▼例题

本题答案为：B

11. 增减性与极大/极小值

如果函数在某点由增函数变为减函数，那么该点在附近函数值最大，为局部极大值；如果函数在某点由减函数变为增函数，那么该点在附近函数值最小，为局部极小值。

（2)找到导数为0或不存在的点

（3)判断导数符号的变化

如果找全局极值，则在以上步骤基础上，将符合条件的点和区间端点的函数值放在一起比较，得出最大/小值。

凹凸性发生变化的点称作拐点(points of inflection).

14. 介值定理，中值定理，极值定理

▼例题

本题答案为：C

15. 积分基本公式

▼例题:

本题答案为：D

▼配方法例题：

本题答案为：A

17. 分部积分法（BC）

- Right Riemann Sum:

- Midpoint Riemann Sum:

定积分与求和形式转化：

20. 微积分基本定理

▼例题：

本题答案为：D

▼例题：

本题答案为：D

22. 反常积分（BC）

23. 平面面积

以x为积分变量时，用包围阴影图形的上面曲线减下面曲线

以y为积分变量时，用包围阴影图形的右面曲线减左面曲线

- Disk method：

（2）截面型体积

用函数表示截面的面积，并对这个函数积分。

积分变量选择看截面垂直于哪个坐标轴。

极坐标函数包围的面积计算公式：

参数方程曲线弧长（BC）：

27. 运动问题

总距离，位移，速度，加速度，速率间的关系：

二维运动问题结合参数方程来考虑，位移，速度，加速度都分为水平方向和垂直方向计算，以向量形式表示，如position vector可表示为

这些向量的大小利用勾股定理把两个方向组合起来表示，比如求speed就用来表示。

解形如的微分方程

步骤3：积分后整理式子成用x表示y的形式，并代入特殊值求出常数C

29. 线性估算

用函数上一点的切线来估算切点附近的函数值f(x)≈f(x_₀)+f'(x_₀)(x-x_₀),

，x_₀为切点的横坐标。

欧拉法（BC）：分段并重复多次的线性估算。

▼例题：

本题答案为：B

30. 指数增长和logistic growth

A的值为函数在t趋近于无穷时的极限。

函数值在到达A/2后，增长速度开始变缓。

判断级数收敛：

（1)N-th term test

（2)Geometric series test

几何级数在|r|>1时收敛，≥1时发散。

(5)Comparison test

(6)Limit Comparison test

多用于含有阶乘和指数函数的级数判断收敛，也在计算power series收敛区间时使用。

 先判断级数的类型选择对应类型的方法，比如交错级数直接用alternating series test 判断。

 其他情况：含有指数函数，阶乘的级数选择ratio test；多项式分式选择limit comparison test；与已知是否收敛的级数有严格的大小关系时可选择comparison test；题目明确提出或比较容易积分时可选integral test。

几何级数求和：

几何级数的公比r由第n项和n-1项的比值得到。收敛的几何级数可以用公式求和。

▼例题：

本题答案为：D

收敛区间和半径

x=c为power series的收敛中心，在距离c收敛半径r以内的范围内的x都可以使级数收敛，这个范围就是收敛区间。

▼例题：

本题答案为：B

泰勒级数和误差上界

泰勒级数和麦克劳林级数计算公式：

需要知道的麦克劳林展开式：

Alternating error bound：