速看！2025 年 AP 微积分考情全解析

微分方程是历年真题中无计算器部分的一个必考点，在这类题型中，题干会提供一个微分方程，考察在slope field画曲线、求解二阶导、欧拉法近似、分离变量积分求解原函数等知识点，因为又考到求导又考到积分，所以同学们需要熟背求导和积分的公式技巧，不要混用，例如求导时注意用chain rule，积分时注意系数等等。

每年的真题第六题往往都是关于泰勒展开级数的问题，也是同学们觉得难度最高的一题，这类题型通常考察展开公式书写、通项公式求解、收敛区间、两边同时积分或求导、error bound证明等知识点，相对于其他求导积分类型的题目来说，这类题的知识点更像自成一个体系，需要同学额外花功夫去记忆很多方法，在实际考试中十分考验同学们对这套体系的熟练度，有很多地方需要同学一眼看出特征从而想到方法。

🔥题干：

🔥真题解析：

（1）第一小问

经过给定点(0,4)画曲线，顺着slope field的走势去画即可，注意一直画到图形边界，然后不要和图里的横杠形成交叉。

（2）第二小问

我们首先用一阶导函数=0的方程找到一个critical point，继续验证是否是相对最大最小值有两种方法，可以分析t在这个critical point左右时一阶导从正变负，也可以计算二阶导函数值为负说明开口向下，都可以证明其为相对最大值。

（3）第三小问

这题需要求解这个微分方程，我们先分离变量，将所有H的项放等号左边，t的项放等号右边，同时积分找原函数，注意-1次方原函数的ln后面加绝对值符号，以及找到原函数后要有常数C的一项，代入初始值条件算出C，再一步步把H解出来。

🔥题干：

🔥真题解析：

（1）第一小问

这题问x=6时是否收敛，我们直接把x值代入即可，约掉6的n次方后看出来是多项式除以多项式的问题，于是联想到comparison test，将其等效为1/n这个harmonic series来证明其发散。

（2）第二小问

这题问error bound，注意到f(-3)的求和式里有个-1的n次方存在所以判定为alternating series，然后联想到alternating series error bound，在算到前n项和时，误差不超过第n+1项，所以题目算到了第三项，error bound代入n=4的那项即可。

（3）第三小问

题目问f导函数的展开式通项，对函数求导和对泰勒展开式求导是一样的，所以把f展开里面的通项对x求导即可，注意n只是系数，求导时不变。

（4）第四小问

c问后半和d问都问了收敛半径的问题，凡是问收敛半径或收敛区间的问题统一用ratio test，拿第n+1项除以第n项并让n趋向无穷大，让ratio的绝对值小于1解不等式，如果是收敛区间问题再单独代入验证两个边界。

极坐标求面积一直以来也算很多同学考试当中的一个比较有挑战性的考点，不单单要学会分析图像围出面积时候要算出角度的起点和终点，有时候也会需要依靠对称性进行分析简化操作。

🔥题干：

🔥真题解析：

这里首先要注意分析，图中阴影面积无法用公式直接获得，需要依靠圆的面积减去三叶草的面积才可以得到，而三叶草的面积可以计算最右侧与横轴相交的部分进行计算，再进行三倍扩大，再计算右侧面积的时候注意这片叶子是关于横轴上下对称的，因此可以计算上半部分面积。

这里最容易出错的就是对其中角度范围的计算，终点所在角度是需要令r=0（因为再次转回了极点），计算这个三角方程得出角度为π/6，然后用公式进行计算面积进行倍数扩大

级数部分一直以来都是微积分里难度最大的部分，在这次考试当中其中的考点其实在之前的考试当中也有同类型涉及。收敛区间的计算每年都会有，这次考试当中据同学的回忆，做出来的范围应该是全体实数，这个虽然考的比较少，但是也是可以存在的，而且还有依靠麦克劳林系数来判断local的考点都有出现过。

🔥题干：

🔥真题解析：

对于收敛区间来说，首先运用ratio test算出x的粗糙范围，之后再结合左右端点进行检验，但是如果做出来只能在中心点收敛，就不需要考虑两侧，这时候的范围就是全体实数了，至于麦克劳林系数判断local，也是需要注意观察一阶展开，二阶展开的项与通项公式当中进行对应相同，算出数值的正负，结合二阶导测试法进行判断验证。

总之，请各位明年备考的同学注意，微积分考试的时候一定要把平常学习的知识点都仔细落实到位，学科是一场持久战，要把平时习惯都做好，考试的时候就不会出现慌张的情况了

AP 微积分在 AP 体系中处于核心基础地位，是众多理工科和部分文科专业的先修课程，对学生的数学思维培养及大学学分获取、专业学习衔接等方面起着关键作用。