AMC数学竞赛10/12四大高频考点解析！

AMC数学竞赛10/12试题主要分为4个模块：代数、几何、数论、组合。每个模块考察的内容不同，占比也不同。攻破这四大模块，那么你距离AIME进线也就不远了。今天我们通过探究真题，带领同学们呢体会AMC数学竞赛的命题风格，巧破难题！

在代数、几何、数论、组合四个板块中，代数和几何占比将近60％，是每年考试的重点。数论和组合在最近几年的出题率也大大增加。因此我们从这四个模块中分别选取一道往年较有难度的真题进行讲解：

代数占比最多，是历年考题的重中之重，大概占10题左右。代数的一个显著的特征是，引入了用字母符号来“代替“数字，并且对符号进行形式化的运算。在此基础上，再发展到方程和函数等概念的建立。下面我们以一道AMC10的一道真题为例：

解析：在这个题里面，N和M虽然实际上是确定的数，但是以未知数的形式出现的。要先根据条件列出一个不定方程，因为不定方程在限定条件是可能有唯一解或者有限定个数的解的，题中N和M都是整数，N>2M和M>4，这些限定条件排除了不可能的解，剩下的就是我们要的解。

几何占比第二多，大概6-8 题，比较注重平面几何、三角形与四边形的考察。大部分内容在国际课程中不涉及，所以对于国际学生来说可能会有点陌生。下面以一道真题为例：

解析：从图形上来看，一个正方形被两条直线分割成了4块，我们注意到其中3块都是三角形，所以我们只要知道这3个三角形的面积比例，不规则四边形AFED也就知道了，答案自然而然就出来了。

组合是每年的必考点，大概占比5-6题。其中排列和组合是组合数学的基本概念，而概率又是由排列数和组合数进行“排列组合”，也就是加减乘除各种运算而得到的。只要概念清晰，方法系统化，可以说理论上一切的概率问题都可以计算出来。下面我们通过一道真题详细了解一下：

解析：首先，五个顶点我们视为不同的，所以对它们的涂色是有顺序的。关键是要把顺序排列好，还要把情况分解好。我们用下面的树形图来表示。把每一个分支的计数算出来，最后加和就是总数了。

数论虽然占比最少，但在近几年考察比重在逐渐加大，内容包括整除、分解质因数、指数幂等。大概占 4-6 题左右。从概念来讲，数论就是讨论整数的规律。我们以AMC12的一道真题为例：

解析：这个题的正规解题方法要用到费马小定理和中国余数定理，如果能掌握这些当然很高超。但是即使不会这两个定理，也可以用几次WLOG（without loss of generality，不失去一般性）的特例推理，进行解答。

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