建议收藏 | 5分学生都在看的AP微积分复习指南！

考前必看

 

1.要点总结

以下为AP微积分AB/BC中相对不容易掌握的知识点，检验一下自己的掌握情况吧。

· 导数应用（图像）：图像题融合了增减性，最值，凹凸性，拐点等众多知识点，对概念的清晰掌握和逻辑能力的要求都不低。

· 导数应用（相关变化率）：多个变量间的关系相对复杂，题目比较灵活，计算量也偏大。

 

· 分部积分（BC）：计算量偏大，系数容易出错。

 

· 解微分方程：步骤较多，对计算要求比较高。

 

· 极坐标（BC）：与直角坐标差异较大，图像可能会比较复杂，将解析式转化成图像有一定难度。

 

· 体积问题：需要一定立体图形想象力，抽象程度高。

 

· 级数（BC）：整章抽象程度都比较高，相对难以理解的章节，需要理解记忆的知识点也比较多。

 

2、FRQ答题规范

 

 

以2023年FRQ第一题为例，根据答案中的评分标准，在（b）问中得到满分需要列式表示出平均值，并得出正确答案。

 

需要同学们注意的是，即使是计算器部分的简答题，也要先列式再写出答案；一方面这样才能拿全步骤分，另一方面即使答案不准确，也不至于丢掉所有分数。

 

 

 

在更复杂的（d）问中得到满分，则需要写出完整的求global maximum的过程。

 

可以看出，论述过程并不需要长篇大论的英语，同学们只要按照解题步骤把过程写清楚，在用数学符号表达不清时配合上一些少量英语表述即可。过程的严谨才是得分的关键。尤其注意在使用Mean Value Theorem这样的定理时需要写清楚定理的条件，所以在复习时不要只关注定理的结论，也要注意在什么条件下定理才成立。

 

微积分BC思维导图

 

 

知识点梳理

 

1. 极限存在的条件：左右极限相等

 

 

2. 求极限：若代值可以得到结果则代值运算，若不能则选择以下方法

 

· 因式分解

 

· 比较最高次项

 

· 利用特殊极限

 

· 洛必达法则

分子分母同时趋近于0或无穷时

 

3. 夹逼定理

 

 

4. 渐近线

 

 

▼例题：

 

本题答案为：C，求垂直渐近线时，需注意约分后再看分母何时为0

5. 连续性

 

 

▼例题：

 

6.导数定义

 

 

 

可导条件：

 

7. 导数运算公式

 

 

· 链式法则

 

▼例题：

本题答案为：D

8. 隐函数求导

 

 

9. 参数方程求导（BC）

 

对于参数方程，可以分别找到x关于t的导数和y关于t的导数，再进行计算。

 

 

对于高阶导数，可以对一阶导数的结果再次求导即可得到二阶导。

 

 

 

▼例题

本题答案为：B

 

10. 极坐标求导（BC）

 

参考参数方程导数的做法，先把极坐标r，θ的关系转化为直角坐标x，y的关系，再按参数方程的做法求导。

 

 

 

11. 增减性与极大/极小值

 

 

如果函数在某点由增函数变为减函数，那么该点在附近函数值最大，为局部极大值；如果函数在某点由减函数变为增函数，那么该点在附近函数值最小，为局部极小值。

 

· 找极值的步骤：

（1)找到函数的一阶导

（2)找到导数为0或不存在的点

（3)判断导数符号的变化

 

 

如果找全局极值，则在以上步骤基础上，将符合条件的点和区间端点的函数值放在一起比较，得出最大/小值。

 

12. 二阶导，凹凸性和拐点

 

 

 

 

凹凸性发生变化的点称作拐点(points of inflection).

 

找拐点的步骤：

(1）找到函数的二阶导

(2）找到二阶导数为0或不存在的点

(3）判断符号的变化，方法与一阶导数符号的判断类似。

 

只要符号发生变化就是拐点，无论由+变-还是由-变+。

 

13. 相关变化率

 

 

14. 介值定理，中值定理，极值定理

 

 

 

▼例题

本题答案为：C

 

15. 积分基本公式

 

 

16. 积分换元法和配方法

 

选取u时要注意u的导数应是原本被积函数的一部分。

 

注：定积分的换元法要注意上下限的变化。

 

配方法指的是利用与arctanx或arcsinx相关的公式来积分，通过换元凑成需要的形式。

 

 

▼例题:

本题答案为：D

 

 

▼配方法例题：

本题答案为：A

 

17. 分部积分法（BC）

 

 

18. 因式分解法积分（BC）

 

先通过因式分解把被积函数分成两项，再通过待定系数法确定分子的值。

 

 

19. 黎曼和

 

四种类型:

 

- Left Riemann Sum:

 

- Right Riemann Sum:

 

- Midpoint Riemann Sum:

 

- Trapezoidal Riemann Sum:

 

定积分与求和形式转化：

 

20. 微积分基本定理

 

 

此定理为定积分运算的依据。

 

▼例题：

本题答案为：D

 

在积分上限函数中，f(x)是g(x)的导数，g(x)是f(x)的原函数（反导数）。

 

 

▼例题：

本题答案为：D

 

21. 平均值

 

 

22. 反常积分（BC）

 

积分区间无穷或积分区间内函数无界时，用极限来表示积分的区间

 

 

 

23. 平面面积

 

以x为积分变量时，用包围阴影图形的上面曲线减下面曲线

 

 

以y为积分变量时，用包围阴影图形的右面曲线减左面曲线

 

 

 

24. 立体体积

 

（1）旋转型体积

 

旋转型包括没有空心的disk method和有空心的washer method。

 

- Disk method：

 

- Washer method：

 

若旋转轴为与坐标轴平行的直线，积分中截面圆的半径用函数与旋转轴的距离表示。

 

选择积分变量看旋转轴与哪个坐标轴平行或重合（例如绕x轴旋转则对x积分）

 

（2）截面型体积

 

用函数表示截面的面积，并对这个函数积分。

 

 

积分变量选择看截面垂直于哪个坐标轴。

 

需要掌握正方形，长方形，半圆，等边三角形和等腰直角三角形面积的计算公式。

 

25. 极坐标面积（BC）

 

极坐标函数包围的面积计算公式：

 

 

 

两个极坐标函数之间的面积公式：

 

 

 

积分区间可以通过观察图形的角度范围以及列方程计算θ的范围。

 

26. 弧长

 

平面内曲线弧长：

 

 

参数方程曲线弧长（BC）：

 

     

 

27. 运动问题

 

总距离，位移，速度，加速度，速率间的关系：

 

 

二维运动（BC）：

 

二维运动问题结合参数方程来考虑，位移，速度，加速度都分为水平方向和垂直方向计算，以向量形式表示，如position vector可表示为

这些向量的大小利用勾股定理把两个方向组合起来表示，比如求speed就用来表示。

 

求total distance的问题用含参数的平面弧长的公式来解决。

 

28. 解微分方程

 

解形如的微分方程

 

步骤1：分离变量

 

步骤2：对等式两侧积分

 

步骤3：积分后整理式子成用x表示y的形式，并代入特殊值求出常数C

 

29. 线性估算

 

用函数上一点的切线来估算切点附近的函数值f(x)≈f(x_₀)+f'(x_₀)(x-x_₀),

，x_₀为切点的横坐标。

 

欧拉法（BC）：分段并重复多次的线性估算。

 

▼例题：

本题答案为：B

 

30. 指数增长和logistic growth

 

指数增长模型：

 

 

P₀为t=0时函数的初始值，符合此模型的函数即为指数增长。

 

关键词：增长率与函数值成正比（proportional）

 

Logistic growth 模型(BC)：

 

 

A的值为函数在t趋近于无穷时的极限。

 

函数值在到达A/2后，增长速度开始变缓。

 

 

31. 级数（BC）

 

判断级数收敛：

 

（1)N-th term test

 

（2)Geometric series test

几何级数在|r|>1时收敛，≥1时发散。

 

（3)P-series test

 

（4)Integral test

 

注：积分的值与级数值不完全相等。

 

(5)Comparison test

 

(6)Limit Comparison test

 

可以用于分式形式级数的判断，根据分子分母最高次数的差来选择相匹配的p-series，则级数与这个p-series收敛情况相同。

 

(7)Ratio test

 

多用于含有阶乘和指数函数的级数判断收敛，也在计算power series收敛区间时使用。

 

(8)Alternating test

注：第二个条件指的是数列绝对值递减，不需要考虑符号。

 

级数收敛判断方法的选择：

 

 先判断级数的类型选择对应类型的方法，比如交错级数直接用alternating series test 判断。

 

 其他情况：含有指数函数，阶乘的级数选择ratio test；多项式分式选择limit comparison test；与已知是否收敛的级数有严格的大小关系时可选择comparison test；题目明确提出或比较容易积分时可选integral test。

 

几何级数求和：

 

 

几何级数的公比r由第n项和n-1项的比值得到。收敛的几何级数可以用公式求和。

 

▼例题：

本题答案为：D

 

收敛区间和半径

 

 

x=c为power series的收敛中心，在距离c收敛半径r以内的范围内的x都可以使级数收敛，这个范围就是收敛区间。

 

计算收敛区间步骤：

1.令用ratio test得到的比值结果小于1，并解不等式

2.不等式的解为级数absolutely converge的范围，分别将边界值代入原级数判断是否收敛

3.若边界值收敛则包括在区间内，发散则不包括

注：converge conditionally的x值位于收敛区间的边界

 

▼例题：

本题答案为：B

 

泰勒级数和误差上界

 

泰勒级数和麦克劳林级数计算公式：

 

注：题目中泰勒级数的degree指的是最高次数，non-zero terms指的是包括几项。

 

需要知道的麦克劳林展开式：

 

 

泰勒级数除了直接通过公式求导计算得出，还可以由已知展开式加减，乘常数系数，求导，积分，换元得到

 

Alternating error bound：

 

 

交错级数的误差上界为所取的级数的下一项的绝对值。计算error bound只需要从题干按关键词中提取信息代入公式即可得出结果。

 

老师寄语

 

同学们在复习阶段要有规划的做一些题目，最好能计时完成整套真题来适应考试的形式和节奏。

 

刷题时一定注意改错和复盘，总结自己哪些知识点掌握不到位，抓紧复习。切忌盲目刷题，解决问题比机械练习更有效。

 

最后祝大家取得让自己满意的成绩，学到了知识，取得了进步就是最大的收获。

 

 

 

 

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