AIME不慌，这里有你不得不看的考前必知

2019年美国数学邀请赛（AIME）第二试即将在3月22号开考，题型为15道解答题，答案均为0到999之间的整数，考试时间三个小时，试题新颖别致，内容广泛，灵活性极强，而且其背后蕴藏着不同的数学思想，具有很强的延展性。相比较国内高中数学联赛，它少了各种花里胡哨的解题技巧，返璞归真地考察那些最为基本但又容易被忽视其背后蕴含着深厚的原理的知识，这一点对于国内学生很不友好，因为我们长期接受的数学竞赛大多是灌输型教育，极端强调技巧，仿佛要把数学玩出花儿一般。

从A卷的情况，我们可以大致看出今年的AIME考察方向。A卷的15道题中有5到几何题，而且都是平面几何，所涉及的考点也是最为常见的全等相似，圆幂定理、托勒密定理、三角形面积公式、正余弦定理等，但其背后蕴含着较为复杂的几何问题，例如2018年B卷第14题考察的射影几何中的帕斯卡定理的对偶定理——布列安桑定理，2019年A卷第14题考察的Harmonic Bundles Lemma。往往这类题都可以用初中几何知识求解，但如果深入研究下去，就会发现一个全新的世界。

如果分析2000-2018年的所有AIME真题，不难发现，以往的代数占半边天的时代已经过去了，带着并不意味这代数的地位下降了，要知道，组合、几何、数论题，化到最后，都变成了代数求解，因此，对于学生的代数基本功要求更严了。而直接考察代数的题目，也往往不会顺着学生的思维来出题。一个公式的应用，可以是左边等于右边，同样的也可以是右边等于左边。

相较于代数几何，数论的考点则要固定得多，初等数论四大基本定理常考的有三个：费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理，而且往往是追根溯源地去挖掘这些定理或运算的本质，不单单是定理的应用。而这些本质又来源于学生对于整除和同余的理解。

组合固定的知识点很少，然而组合题却一贯是国人的心头刺，是因为它的变化莫测。所谓万物皆可组合，同其它知识点联系起来时，往往会发生一些莫名其妙的变化，其计数过程的繁琐又体现了数学思维的严谨，正所谓“缺一不可”，其分类讨论的思想又对学生的构造能力和创造性思维提出了要求，分类的正确性和完备性直接决定了你能否做出来以及能否简单地做出来。但是，万变不离其宗，AIME中的组合题基本考法也就这几种：互补计数（正难则反），对称计数（逆向思维），一一对应（构造其他等价问题），最后实在不行就分类讨论。

以上是关于四大板块的常见考法，（复数和三角历年考察不多，而且基本都围绕着公式的变形和定理考察），以下是知识点：

1.      代数变形

待定系数法、主元法、配方法、换元法（整体换元、对称换元、倒数换元、常值换元、平均换元）

2.      二次函数与判别式法（构造函数）

3.      数形结合

4.      多项式

因式定理、余项定理、韦达定理、虚根成对定理、有理根定理

5.      数列

等比等差数列、数列求和、错位相减、裂项

6.      不等式

均值不等式、柯西不等式、琴生不等式

1.      平面几何

三角形：全等相似，五心，面积公式，角平分定理，塞瓦定理、梅涅劳斯定理，斯图尔特定理，阿波罗尼斯定理

圆：圆心角圆周角，圆幂定理，托勒密定理，平行四边形的性质（四边长平方的和等于对角线平方的和），皮托定理，曲率与笛卡尔圆公式

2.      立体几何

体积表面积公式，欧拉多面体公式，相切，射影定理

3.      解析几何

距离公式（点点距离、点线距离），匹克定理（整点问题），鞋带定理，规划问题，向量、点积叉积几何意义，极坐标，旋转，解几与复数、三角

1.      三角函数恒等变形

和差倍半，和差化积，积化和差，万能公式，诱导公式，sin36°

2.      三角函数不等式

3.      构造对偶式

4.      解三角形

正弦定理，余弦定理

5.      三角与复数（几何意义）

1.      复数表示

一般形式，极坐标形式，欧拉形式

2.      复数运算（乘法）与几何意义

3.      棣莫弗定理

4.      单位根

1.      平方数（判别式）

2.      质因数分解与约数个数定理

3.      Power of 10

4.      数论与数列表示（number base, digit, repeating decimals）

5.      整除

整除的性质，整除的可分性，整数的分化，倍蜀定理，最大公约数与最小公倍数公式

6.      同余

同余四则运算，同余乘方,欧拉定理,费马小定理，同余求解，线性同余方程组求解与中国剩余定理

1.      组合数与组合恒等式

2.      计数

Stars and bars，对称计数，互补计数，分类讨论

3.      集合

几何容量，子集个数定理，容斥原理，抽屉原理，集合划分，韦恩图

4.      二项式定理

多项式定理，广义二项式定理

5.      概率

古典概型，几何概型，条件概率

6.      胡克定理

考前避雷

整体来说，AIME的考察范围立足于AMC但又超脱于AMC，它比起AMC那种知识点应用型考察，更偏向于考察学生自己对于这些知识点的理解。

最后，正式考试时别忘记了，AIME的15道题难度是逐渐增大的，而时间只有三个小时，切记要注意合理分配。另外，往往前10题基础好的同学基本都能有一些思路，但是切记计算时不要出错。第15题一般可以用初等方法求解，但其背景往往是十分深奥的一些定理，如果一眼下去没有思路的话，建议适当地放弃。最后，AIME和AMC不同的记分规则，AIME答错或不答都没分，所以实在不会，就凭第一感觉猜一个最像是答案的数字吧。