在为孩子选择 AMC10 还是 AMC12 时，真题难度是一个非常关键的参考因素。很多家长和孩子只知道 AMC12 整体比 AMC10 难，但具体难在哪里、不同题型的难度差异有多大，却并不清楚。今天我们就从真题难度的角度，详细分析两者的区别，帮你精准判断该选哪一个，同时附上针对性的备考攻略。
复杂不等式、调和不等式、轮换不等式、柯西不等式；复杂函数问题，反函数和符合函数，三角函数和差化积、积化和差，万能公式；复数，复平面，欧拉公式，蒂莫夫公式；数学归纳法、复杂数列和极限
圆相关几何进阶；数形结合，二维、三维图形的函数表达，进阶解析几何；不规则二维、三维图形的处理；二维向量、三维向量
二次余数，高次余数、费马圣诞节定理、费马小定理；各类丢番图方程的解法
进阶组合：
AMC12的考试难度略高于AMC10，掌握了AMC12的知识的同学，可以更容易应对AMC10的考试，比如AMC10中的一些几何题目需要添加辅助线才能得出答案，在考场紧张的环境下，有些考生不能立刻找到正确添加辅助线的方法。但利用AMC12考察的三角函数工具将会轻松解决这个难题。
一、代数题型：基础应用与综合拓展的差距
AMC10 代数真题难度
AMC10 的代数题主要围绕初中阶段的基础知识点展开，注重对基本概念和公式的直接应用，计算量相对较小，题目逻辑也比较清晰。
例如 2024 年 AMC10A 卷第 5 题：“已知函数 f (x)=2x+3，g (x)=x²-1，求 f (g (2)) 的值。” 这道题只需要先算出 g (2) 的值，再代入 f (x) 中即可，考察的就是函数的基本运算，难度较低，只要掌握函数的概念就能轻松解答。
再如 2023 年 AMC10B 卷第 12 题：“解方程 x²-5x+6=0，并求两根之和。” 这是一道简单的一元二次方程求解问题，用因式分解法就能快速得出答案，同时考察了韦达定理的基本应用，属于基础题型。
AMC12 的代数题则在 AMC10 的基础上进行了拓展和深化，常常涉及多个知识点的综合应用，还会出现一些高中阶段的代数内容，如指数函数、对数函数、三角函数等，计算量和逻辑复杂度都有明显提升。
以 2024 年 AMC12A 卷第 8 题为例：“已知 2^x=3，3^y=4，求 x*y 的值（结果用对数表示）。” 这道题需要用到指数函数与对数函数的转换关系，对对数的运算性质要求较高，没有学过对数函数的孩子很难做出。
还有 2023 年 AMC12B 卷第 15 题：“求函数 f (x)=sinx + cosx 在区间 [0,2π] 上的最大值和最小值。” 这道题考察了三角函数的和角公式以及三角函数的最值问题，需要孩子熟练掌握三角函数的相关知识和运算技巧，难度远高于 AMC10 的代数题。
从代数题型来看，如果孩子对高中代数知识（指数函数、对数函数、三角函数等）掌握不熟练，那么 AMC12 的代数题会成为很大的障碍，此时选择 AMC10 更合适；若孩子已经熟练掌握这些知识，且能应对综合应用类题目，则可以考虑 AMC12。
二、几何题型：平面为主与立体介入的不同
AMC10 几何真题难度
AMC10 的几何题以平面几何为主，主要考察三角形、四边形、圆等基本图形的性质和相关计算，题目中涉及的定理和公式也多是初中阶段学过的，如勾股定理、相似三角形判定定理、圆的切线定理等。
2024 年 AMC10A 卷第 10 题：“在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求斜边 AB 上的高。” 这道题利用勾股定理求出斜边长度后，再根据三角形面积公式就能算出斜边上的高，思路简单，考察的是基础几何知识的应用。
2023 年 AMC10B 卷第 18 题：“已知圆 O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，求圆心 O 到弦 AB 的距离。” 这道题考察了圆的弦长与弦心距的关系，用垂径定理就能轻松解决，属于平面几何中的常规题型。
AMC12 几何真题难度
AMC12 的几何题不仅有平面几何，还会涉及立体几何内容，如棱柱、棱锥、球等立体图形的表面积和体积计算，以及空间中直线与平面的位置关系等。同时，平面几何题也会更加复杂，常常需要结合三角函数等知识来求解。
2024 年 AMC12A 卷第 12 题：“一个正四面体的棱长为 2，求它的体积。” 这道题考察正四面体体积的计算，需要用到立体几何中相关的体积公式，还需要算出正四面体的高，对空间想象能力和计算能力都有一定要求。
2023 年 AMC12B 卷第 20 题：“在平面直角坐标系中，圆 C 的方程为 (x-3)^2 + (y-4)^2=25，点 P (0,0)，求过点 P 且与圆 C 相切的直线方程。” 这道题虽然是平面几何题，但需要用到点到直线的距离公式以及圆的切线性质，计算过程较为复杂，还需要考虑两种不同的切线情况，难度比 AMC10 的几何题大很多。
如果孩子对立体几何知识不了解，或者空间想象能力较弱，那么 AMC12 的几何题会非常棘手，建议选择 AMC10；若孩子已经掌握立体几何知识，且平面几何基础扎实，能应对复杂的综合题型，那么可以尝试 AMC12。
三、数论与组合题型：基础入门与深度挖掘的区别
AMC10 数论与组合真题难度
AMC10 的数论题主要考察整数的整除性、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、简单的同余问题等基础数论知识，题目难度较低，解题思路相对直接。
2024 年 AMC10A 卷第 8 题：“求 12 和 18 的最大公约数和最小公倍数。” 这道题是数论中的基础题目，用分解质因数的方法就能快速得出答案。
组合题则主要考察加法原理、乘法原理、简单的排列组合计算以及基础概率问题，如 2023 年 AMC10B 卷第 10 题：“从 1 到 10 这 10 个数字中，随机选取 2 个不同的数字，求这两个数字之和为偶数的概率。” 这道题只要明确奇数和偶数的组合情况，就能算出概率，难度不大。
AMC12 数论与组合真题难度
AMC12 的数论题会涉及更深入的内容，如同余方程、欧拉定理、费马小定理等，题目往往需要更巧妙的解题思路和更复杂的推理过程。
组合题则会考察更复杂的排列组合问题、条件概率、容斥原理等，对孩子的逻辑思维能力和综合应用能力要求更高。
2024 年 AMC12A 卷第 18 题：“求解同余方程 3x≡4 (mod7)。” 这道题需要用到同余方程的求解方法，对孩子的数论知识深度有一定要求。
2023 年 AMC12B 卷第 22 题：“在 1 到 100 的正整数中，求既不是 3 的倍数，也不是 5 的倍数，还不是 7 的倍数的数的个数。” 这道题需要用到容斥原理，计算过程较为繁琐，需要孩子仔细分析和推理，难度远高于 AMC10 的组合题。
从数论与组合题型来看，若孩子只掌握了基础的数论和组合知识，AMC12 的这类题目会很难应对，选择 AMC10 更稳妥；若孩子对数论和组合知识有更深入的了解，且能应对复杂的推理和计算，那么可以挑战 AMC12。
四、整体难度梯度：平缓上升与陡峭提升的差异
AMC10 整体难度梯度
AMC10 的 25 道题整体难度呈平缓上升趋势，前 10 题难度较低，主要考察基础知识点的直接应用；11-20 题难度中等，开始出现知识点的综合应用，但逻辑链条相对较短；21-25 题难度较高，但与前 20 题的难度差距不是特别大，只要孩子基础扎实，掌握一定的解题技巧，还是能做出一部分的。
例如在 2024 年 AMC10A 卷中，前 10 题的正确率普遍在 80% 以上，11-20 题的正确率在 50%-80% 之间，21-25 题的正确率在 20%-50% 之间，难度梯度变化较为缓和。
AMC12 整体难度梯度
AMC12 的 25 道题整体难度呈陡峭提升趋势，前 5 题难度相对较低，但比 AMC10 的前 5 题稍难；6-15 题难度就有明显上升，开始涉及高中知识点和复杂的综合应用；16-25 题难度极大，尤其是后 5 题，对孩子的数学能力和解题技巧要求极高，很多孩子可能只能做出其中的 1-2 题。
2024 年 AMC12A 卷中，前 5 题的正确率在 70% 左右，6-15 题的正确率在 30%-70% 之间，16-25 题的正确率大多在 10%-30% 之间，难度梯度变化非常明显。
从整体难度梯度来看，AMC10 对孩子的适应能力要求相对较低，即使是数学基础中等的孩子，也能跟上难度节奏，做出大部分题目；而 AMC12 对孩子的适应能力要求很高，需要孩子能快速应对难度的提升，否则很容易在中途就被难住，影响后续答题。
五、基于真题难度的选择方法
- 真题测试法：让孩子分别做一套完整的 AMC10 和 AMC12 真题，严格按照考试时间进行，然后统计正确率。如果 AMC10 的正确率在 70% 以上，而 AMC12 的正确率在 50% 以下，那么选择 AMC10；若 AMC12 的正确率在 60% 以上，且孩子对做错的题目大多能理解，那么可以考虑 AMC12。
- 难题应对法：重点观察孩子对两者难题（AMC10 的 21-25 题，AMC12 的 16-25 题）的应对情况。如果孩子能做出 AMC10 难题中的 3 道以上，而对 AMC12 的难题几乎无从下手，选择 AMC10；若孩子能做出 AMC12 难题中的 2 道以上，且解题思路清晰，那么可以尝试 AMC12。
- 时间分配法：记录孩子做两套真题时的时间分配情况。如果孩子在 AMC10 中能在规定时间内完成所有题目，且有时间检查，而在 AMC12 中时间非常紧张，很多题目来不及做，说明孩子暂时不适应 AMC12 的难度节奏，选择 AMC10 更合适。
六、针对性备考攻略
选择 AMC10 的备考攻略
- 巩固基础知识点：把初中数学的代数、几何、数论、组合等基础知识点再过一遍，确保每个知识点都没有遗漏，尤其是常考的重点知识点，如二次函数、相似三角形、整除性等，要做到熟练应用。
- 专项突破中等题：针对 AMC10 的 11-20 题进行专项训练，这类题目是拉开差距的关键。可以收集历年真题中的中等题，分类整理后集中练习，总结解题思路和技巧，提高解题速度和准确率。
- 适当挑战难题：对于 21-25 题，不要完全放弃，可以选择其中难度相对较低的题目进行练习，学习一些解题技巧，如特殊值法、排除法等，争取能做出 2-3 道题。
选择 AMC12 的备考攻略
- 补充高中知识点：重点学习 AMC12 中涉及的高中知识点，如指数函数、对数函数、三角函数、立体几何等，结合教材和辅导资料，确保理解透彻，并能熟练应用于解题。
- 强化综合题训练：AMC12 的很多题目都是多个知识点的综合应用，要加强这类题目的训练。可以选择历年真题中的综合题，仔细分析题目中涉及的知识点和它们之间的联系，学会拆解问题，分步求解。
- 提升难题应对能力：针对 16-25 题，尤其是后 5 题，进行有针对性的训练。可以学习一些高级解题技巧和数学思想，如数形结合、分类讨论、转化与化归等，同时多研究真题解析，理解解题思路，积累解题经验。
七、总结
从真题难度来看，AMC10 和 AMC12 在代数、几何、数论、组合等题型以及整体难度梯度上都存在明显差异。选择时，要结合孩子对不同题型的掌握程度、对整体难度梯度的适应能力以及真题测试的表现来综合判断。无论选择哪一个，只要针对性地进行备考，充分利用真题进行练习和总结，孩子都能在竞赛中取得理想的成绩。希望本文能帮助你和孩子做出正确的选择，顺利备战 AMC 竞赛！
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