学好信奥赛，需要掌握和拓展哪些数学知识点？ |
| 时间：2024-05-16 11:23:33 作者：网络 来源：网络 |
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众所周知，数学与信奥赛有着密切的关系：信奥赛学生的筛选就看重其数学能力，信奥赛的学习内容也会间接甚至直接地运用到课内课外的数学知识。
要顺利学习信奥赛，不仅仅是目前课内的数学能够轻松拿下，就能保证信奥赛的学习也顺风顺水的。毕竟竞赛的知识与运用能力要求会更高于课内，需要同学们额外学习一些有思维与理解难度的数学上的知识，而学习知识，最忌讳做“知其然而不知其所以然”的“名词党”。
按照 CCF 官方发布的《全国青少年信息学奥林匹克系列竞赛大纲》（下简称 NOI 大纲），信奥赛在入门级就对选手们明确提出了以下知识点的考察要求：
• 数及其运算
• 初中数学
• 初等数论
• 组合数学
首先，扎实学习课内的数学，甚至提前进度，是顺利学习信奥赛的前提。以上面提到的入门级考察的“数及其运算”为例，考纲要求入门级选手熟知数的概念与各类算术运算，包括四则运算与取余运算。不难发现，其实这一要求并没有偏离课内数学的要求，课内知识与信奥赛入门阶段的学习可以说是相辅相成的。
而另一知识点“数的进制”，看起来就稍显进阶了，毕竟课内数学少有用到二进制乃至更加复杂的十六进制的机会，但在信奥赛的学习中，与计算机打交道是信奥赛选手的家常便饭，有了一定学习经历的信奥赛选手知道：实际上将十进制与二进制，甚至是其他各类进制的数字进行互转，其实就只需要使用到上面提到的四则运算与取余，这是数学知识帮助到信奥赛中的应用的例子之一。
入门级信奥赛参赛选手以初中生为主，小学生为辅，因而两个群体在同台竞争时，初中生能有知识面与经验更加丰富的微弱优势。小学阶段想要在信奥赛上取得一定的成绩，还需要同学们不畏艰险，学习初中的代数和几何知识。比如 2022 年的 CSP-J 的第 2 题，就涉及到了一元二次方程的解法，而正常来说，这是在初三阶段才会学习到的知识。
除此之外，选手们无论是在赛场上攻克难关，还是在场下厚积薄发，有时对一个问题思考、钻研到一半，发现需要使用到数学工具的场景也不少：小到判断数轴上两条线段是否相交，大到判断两个花洒的圆状喷洒范围，能否覆盖一块长方形的农田，前者凭借小学的数学知识尚能解决，后者就不得不使用到初二数学中的勾股定理来解决了。
对于入门级的选手，NOI 大纲明确提出了在初等数论和组合数学这两大数学分支上的考察要求。组合数学尚且能在高中阶段学习到，而初等数论就几乎只能在大学本科阶段有所接触了。
当然，入门级的选手不必视这些进阶内容为洪水猛兽，实际上入门级所需的课外数学知识的学习成本并不高，在小学阶段学习数学如鱼得水的同学，鲜有完全没有接触过数论和计数原理等知识的，因此这些知识的学习与运用，相当于是将同学们在数学上的拓展与积淀，在信奥赛中进一步强化巩固。
然而，自入门级再往上，提高级甚至是 NOI 级所需的数学知识，其深度、广度与难度就会陡增。提高级阶段就已经要求同学们不仅要掌握像是错排列、圆排列这类高中组合数学中的经典排列组合变形问题，还需要能够应用像是扩展欧几里得算法、中国剩余定理这类数学思维难度与代码编写难度兼具的初等数论知识。
而不仅是初等数论和组合数学这两大板块的要求提高了，提高级的选手甚至还需要掌握大学本科线性代数中才会学习到的矩阵的概念，甚至要学习用程序解复杂线性方程组——也就是矩阵的高斯消元法的经典运用。再往上的 NOI 级，就连高等数学、群论，甚至是莫比乌斯反演这样的足以放在初等数论和组合数学课本的最后章节的进阶内容，在高水平竞赛中也毫不避讳。可以看出来，信奥赛的后期学习中，对学习者的数学思维和知识要求，未必少于一个专研数学竞赛的同学。
再次，除了大纲明确提出需要考察的数学知识点，其实其他许多的计算机科学知识，其理解与运用也间接地用到数学。比如贯穿了整个信奥赛所有问题的关键知识点——时间复杂度，其定义、理解与运用往往是初学信奥赛的同学要面临的一大难关，勤加练习的同学可以做到熟练分析自己程序的时间复杂度，从而在赛场上对自己的得分评估与把控能够更加精准，也能在自己能力范围内尽可能收割一道题的子任务分数。
实际上，时间复杂度这一重要概念，还需要微积分与数理逻辑知识才能做出严谨定义，抛开那细碎的微积分引入不谈，哪怕同学们能够掌握到高中程度的数理逻辑知识层面，也能在理解这一概念的过程中少走许多弯路，从而收获更大的优势。
最后，数学虽然是自然科学之王，享有崇高的地位，但学习信奥赛的同学，完全可以信奥赛中涉及的数学当做是一种工具。学习信奥赛的同学与学习数竞的同学都需要学习初等数论和组合数学，但两类同学对数学的掌握与运用要求是不一样的。学习数竞的同学，可能需要对推导过程烂熟于心，在证明细节上精雕细琢；而学习信奥赛的同学，数学知识有的时候是帮助完成任务的必备工具，有的时候又是帮助在理论上大幅优化程序的“大杀器”，对学习信奥赛的同学来说，运用数学知识，并掌握对应的编码方法，尤为重要。
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