AIME数学竞赛公式定理速记：考前核心知识梳理

一、AIME数学竞赛代数与数论核心公式速记

1. 代数核心：多项式、方程与不等式

• 韦达定理及其推广：​ 对于多项式根与系数的关系，不仅要记住二次形式的韦达定理，更要掌握其在复数根、高次方程中的推广形式，这是处理多项式问题的基石。
• 常用恒等式与因式分解：​ 如平方差、立方和/差、三项式平方等，以及 a^n - b^n的因式分解公式。这些是代数变形的基础工具。
• 经典不等式：​ 均值不等式、柯西-施瓦茨不等式是求最值、证明不等式的利器，需明确其等号成立的条件。绝对值三角不等式 |a|-|b| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|也需牢记。
• 数列与级数：​ 等差数列、等比数列的求和公式，以及简单的裂项相消求和技巧。

2. 数论基石：整除、同余与整数性质

• 整除性质：​ 熟练掌握带余除法、最大公约数与最小公倍数的性质及其关联（gcd(a,b) * lcm(a,b) = a*b）。
• 同余基本运算：​ 同余的加减乘性质，以及如何处理同余方程。费马小定理（对于质数p，若a不被p整除，则 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)）及其在简化大指数模运算中的应用是重点。
• 中国剩余定理：​ 理解其原理及求解一次同余方程组的基本步骤，是解决复杂同余问题的有效工具。

二、AIME数学竞赛几何与组合核心定理速记

1. 几何工具：从三角形到圆的重要定理

• 三角形相关：​ 正弦定理、余弦定理、面积公式（海伦公式、1/2 ab sinC），以及塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其逆定理，这是处理共点线、共线点问题的标准工具。
• 圆幂定理：​ 相交弦定理、割线定理、切割线定理及其统一形式——圆幂定理，是处理圆中线段比例关系的核心。
• 重要几何性质：​ 三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）的性质，以及托勒密定理（圆内接四边形对角线的乘积等于两组对边乘积之和）在某些比例和乘积问题中的妙用。

2. 组合原理：计数方法与策略思维

• 基本计数原理：​ 加法原理与乘法原理是基石，需清晰区分“分类”与“分步”。
• 排列与组合公式：​ 普通排列/组合、圆排列、有重复元素的排列组合公式及适用场景。
• 容斥原理：​ 两个及三个集合的容斥公式必须熟练掌握，这是解决“至少”、“至多”类计数问题的关键。
• 递推与数列思想：​ 许多组合问题可通过建立递推关系（如斐波那契数列）来求解，需理解其建模思路。

三、高效梳理与记忆AIME数学竞赛核心知识的策略

1. 构建知识框架图，而非罗列清单

2. 结合典型例题，理解公式的“活”用