构造法解题：AMC10中的创造性思维 构造法是数学竞赛中一种极具创造性的解题方法，特别适

构造法的核心思想

1. 存在性证明：构造一个例子即证明存在
2. 最值可达：构造达到边界的例子
3. 反例构造：构造反例否定命题
4. 问题转化：构造新对象简化原问题

四大构造类型与应用

类型一：存在性构造

• 但这不是明显合数
• 更好的构造：取n=4k+1
• 但更著名的是：取n=4m²
• 则n²+1=16m⁴+1=(4m²+1)²-(2m)²
• =(4m²+2m+1)(4m²-2m+1)
• 当m≥1时，两个因子都大于1
• 所以n=4,16,36,...时，n²+1是合数
• 无限多个

• 实际上n=3时，3²+1=10=2×5合数
• 所以存在性显然

• 3,4,5满足3+4+5=12≠10
• 等比例缩小：1.5,2,2.5但不是整数
• 尝试小数字：6,8,10但6+8+10=24
• 需要更小：2,3,√13不是整数
• 实际上，a=6,b=8,c=10满足勾股但和24
• 考虑a=1.8,b=2.4,c=3，非整数
• 可能误解题目，是a+b+c=10且a²+b²=c²
• 设a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²
• 则a+b+c=2m(m+n)=10
• 所以m(m+n)=5
• m=1，m+n=5，n=4
• 得a=1-16=-15不行
• 实际上勾股数一般形式：a=k(m²-n²),b=2kmn,c=k(m²+n²)
• 和=2km(m+n)=10
• km(m+n)=5
• 取k=1,m=1,n=4得负
• k=5,m=1,n=0不行
• 无解？但选择题可能假设存在
• 尝试具体：3,4,5和12，需调整
• 3,4,5和为12，太大
• 等比例缩放：2.5,3.333,4.166非整数
• 可能题目是a+b=c？不
• 实际上存在：1.8,2.4,3和7.2，但非整数
• 可能无整数解

类型二：最值构造

• 此时xy+yz+zx=3×(1/9)=1/3
• 可猜测最大值1/3
• 需证明，但构造法已给出候选最值
• 选择题中，若有选项1/3，可能正确

• 尝试其他分布：x=1,y=z=0，值为0
• x=0.5,y=0.5,z=0，值为0.25
• 确实1/3=0.333更大
• 支持1/3是最大值

类型三：反例构造

• 1>-2，但1²=1，(-2)²=4
• 1<4
• 所以命题不成立
• 反例需满足a>b但a²≤b²
• 实际上a正b负时可能

• 40²+40+41=1600+40+41=1681
• 1681=41×41
• 是合数
• 命题假

类型四：辅助构造

• 构造矩形：以BC为一边作矩形
• 或构造平行四边形
• 更简单：延长AM至N使AM=MN，连接BN,CN
• 则ABNC是平行四边形
• AD是△ABC的高，也是平行四边形的高
• 在平行四边形中，对角线的一半与边的关系...
• 实际上，在△ABN中，AM是中位线？
• 更直接：在△ABC中，AD≤AM（直角边≤斜边）
• 但AM是中线，不是从A到BC的斜线
• 实际上，在△ADM中，AD≤AM（直角边≤斜边）
• 而AM是中线，所以AD≤AM
• 但题目是中线≥高的一半，显然成立
• 因为AD≤AM，所以AM≥AD≥AD/2
• 但需中线≥高的一半，即AM≥AD/2
• 这显然，因为AM≥0，AD≥0
• 但高可能很大，如等边三角形，高=√3/2边，中线=高
• 所以AM=AD≥AD/2
• 实际上中线可能小于高？在钝角三角形中
• 考虑钝角三角形ABC，∠A>90°
• BC边上的高AD在外部
• 中线AM在内部
• 可能AM<AD？考虑极端：∠A接近180°，三角形很扁
• 高AD很大，中线AM较小
• 但AM≥AD/2？设AB=c,AC=b,BC=a
• 中线公式：AM=21​2b2+2c2−a2​
• 高：AD=a2S​，S=p(p−a)(p−b)(p−c)​
• 具体检验：取三角形三边3,4,6
• 高AD到边6：用海伦公式p=6.5，S=√6.5×3.5×2.5×0.5≈√28.44≈5.33
• AD=2×5.33/6≈1.78
• 中线AM到边6：b=3,c=4,a=6
• AM=0.5√(2×9+2×16-36)=0.5√(18+32-36)=0.5√14≈0.5×3.74=1.87
• 1.87>1.78/2=0.89
• 成立
• 但命题是中线≥高的一半，这显然，因为高的一半≤高，而中线可能小于高
• 但中线≥0，高≥0，所以中线≥高的一半不一定
• 反例：高很大，中线很小
• 取三角形三边1,1,2（退化）
• 但实际上三角形需满足两边和大于第三边
• 取接近退化：1,1,1.999
• 高AD接近0（三角形很扁）
• 中线AM也小
• 计算困难
• 实际上，中线公式ma​=21​2b2+2c2−a2​
• 高ha​=a2​s(s−a)(s−b)(s−c)​
• 用数值：a=1.999,b=1,c=1
• s=1.9995
• m_a=0.5√(2+2-3.996)=0.5√0.004=0.5×0.0632=0.0316
• h_a=(2/1.999)√(1.9995×0.0005×0.9995×0.9995)≈1.0005×√(0.001)≈1.0005×0.0316=0.0316
• 相等
• 看来中线=高在等腰三角形中
• 但命题中线≥高的一半显然，因为高的一半≤高
• 而中线可能小于高，但大于高的一半？
• 考虑不等边：a=5,b=4,c=3
• 高AD到a=5：三角形面积6，高=2×6/5=2.4
• 中线到a=5：m_a=0.5√(2×16+2×9-25)=0.5√(32+18-25)=0.5√25=2.5
• 2.5>2.4/2=1.2
• 成立
• 但需一般证明

构造法在AMC10中的具体应用

几何构造

• 当三角形最大角<120°时，费马点在三角形内部
• 构造法：以各边为边向外作等边三角形
• 连接外顶点与对角顶点，三线交于费马点
• 但AMC中可能只需特殊情况
• 如等边三角形，中心即为费马点

代数构造

组合构造

• 对称交换
• 连续摆法
• 适用于奇数阶
• 4阶有特定构造

构造法的解题步骤

第一步：理解构造要求

1. 明确要构造什么
2. 条件是什么
3. 目标是什么

第二步：选择构造策略

1. 对称构造
2. 极端构造
3. 递归构造
4. 随机尝试

第三步：实施构造

1. 具体构造
2. 检验条件
3. 调整优化

第四步：验证与推广

1. 验证满足要求
2. 检查是否最优
3. 考虑一般性

构造法的创造力培养

观察力训练

联想力训练

试错能力训练

简化能力训练

AMC10考场技巧

何时用构造法

1. 存在性问题
2. 最值问题
3. 反例问题
4. 选择题且直接计算复杂

构造技巧

1. 从简单情况开始
2. 利用对称性
3. 考虑极端情况
4. 尝试特殊值

时间管理

1. 构造法通常较快
2. 但可能找不到构造
3. 准备备用方法
4. 选择题可构造后验证选项

构造法的局限性

不适用的场景

1. 需要一般性证明
2. 需要精确计算
3. 构造过于复杂
4. 无明确构造目标

风险控制

1. 构造可能不具代表性
2. 可能漏掉最优解
3. 构造后仍需验证
4. 注意构造的合法性

最后的建议

1. 积累构造模型：记忆常见问题的构造方法
2. 培养构造直觉：多练习构造题
3. 灵活运用：不固执于构造，适时切换方法
4. 验证构造：构造后必须检验