附清单！AMC10数学竞赛备考最常用的20个公式定理

一、AMC10数学竞赛代数与数论核心公式

1. 二次方程求根公式与韦达定理：x = [-b ± √(b²-4ac)]/(2a)是基础，而韦达定理（根与系数关系：x₁+x₂=-b/a, x₁x₂=c/a）在涉及对称多项式、求值、整数根问题时应用极为频繁。
2. 因式分解公式：尤其是平方差、完全平方、立方和与立方差公式，是化简表达式、求解方程的核心工具。
3. 指数与对数运算法则：a^m * a^n = a^(m+n)，logₐ(MN)=logₐM+logₐN等。在处理增长、比较大小、解指数方程时必不可少。
4. 等差数列与等比数列通项及求和公式：必须熟练掌握。在AMC10中，常常与代数、数论、甚至几何图形计数问题结合。
5. 平均数、中位数、众数、极差、标准差的基本概念与计算：是数据分析题的基础，需清晰理解其定义与区别。
6. 质因数分解定理：任何大于1的整数可唯一分解为质数之积。这是数论问题的基石，用于求公约数、公倍数、解整数方程等。
7. 模运算基本规则：理解同余概念（a ≡ b (mod m)）及其加减乘性质，是处理周期、余数、数字特征问题的利器。
8. 鸽巢原理：看似简单，却是解决存在性证明和计数下界问题的强大思想。关键在于巧妙构造“鸽子”和“鸽巢”。

二、AMC10数学竞赛几何与三角核心定理

1. 勾股定理及其逆定理：最基础也最重要，贯穿直角三角形相关问题。
2. 特殊直角三角形的边长比：30°-60°-90°三角形的1:√3:2，45°-45°-90°三角形的1:1:√2。必须牢记，可快速计算。
3. 三角形面积公式：除底乘高除以2外，海伦公式（已知三边求面积）和正弦定理面积公式（S=½ab sinC）在特定条件下是捷径。
4. 相似三角形的判定与性质：AAA, AA, SAS, SSS判定，以及对应边成比例、面积比等于相似比平方。是AMC10几何中最核心的定理之一。
5. 圆的性质簇：圆周角定理（同弧所对圆周角相等，且等于圆心角一半）、圆幂定理（切割线、割线）、相交弦定理。必须结合图形深刻理解。
6. 正弦定理与余弦定理：解决非直角三角形的边角关系问题。正弦定理a/sinA = b/sinB = c/sinC，余弦定理a²=b²+c²-2bc cosA。
7. 特殊四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的边、角、对角线性质。需对比记忆，清晰区分。

三、AMC10数学竞赛组合与概率核心原理

1. 排列与组合的基本公式：排列P(n,k)=n!/(n-k)!，组合C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]。关键在于区分“顺序有关”还是“无关”。
2. 加法原理与乘法原理：所有计数方法的基础。加法原理用于“分类”情景，乘法原理用于“分步”情景。这是解决复杂计数问题的逻辑起点。
3. 二项式定理：(a+b)^n的展开式及通项公式。不仅用于展开，也常与组合数恒等式结合。
4. 容斥原理：用于计算多个集合的并集元素个数，公式为|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，解决重叠计数问题的标准方法。
5. 概率的基本定义与计算：古典概型P(A)=满足条件的基本事件数/总的基本事件数。理解互斥事件、独立事件的概率加法与乘法规则。