4月欧几里得备赛指南：搞定最后两大难题

4月的欧几里得数学竞赛再过2个月就要开赛了，它是加拿大最具认可度的数学竞赛之一，同时也深受英美知名学府的认可，吸引了每年超2万优秀学子参加。

对于考生而言，欧几里得数学竞赛满分100分，保证前7道题全部做对就可拿奖。不过相信许多同学有志于斩获Honor，那就需要更关注第九题和第十题，竞赛大神将此分类总结为两类考点，同学们赛前需反复练习。

第一类：知识点的综合应用，一般来说，就是几何叠加复杂方程组、几何叠加不定方程、数列叠加复杂方程组、数列叠加不定方程。

关于齐次不定方程的解法，有以下几种：

1 ：因式分解法 

2 ：配方法

3 ：放缩法 

4 ：同余法

5 ：△法

诸如a2 + mab + b2 = A，其他方法失效的，没办法因式分解、配方，则用△法。在用△法的过程中，比如碰到诸如：m2 + Pn2 = B（P 为小质数、B 为整数），这种时候，要 充分用如下的结论：（这些数论的常规量是需要记忆的）

1）3 的倍数的平方值 mod 3 时，值为 0,1,1（即只能是 0 或 1）

2）4 的倍数的平方值 mod 4 时，值为 0,1,0,1（即只能是 0 或 1）

3）5 的倍数的平方值 mod 5 时，值为 0,1，-1（即只能是 0 或 1 或-1）

我们注意这些内容的主要目的是可以缩小试根的范围，比如：

解不定方程：m2 + mn + n2 = 2011，用△法是最后一个比较好的选择（或者配方也可 以，配成 2m + n 2 + 3n2 = 8044），在用△法之后，会得出一个不定方程：

a2 + 3b2 = 8044 

在更高级别的比赛中，会碰到非齐次的不定方程，比如x2 + 3y3 = z2，N 级别的比 赛中鲜少碰到，在欧几里得数学竞赛的考题重要也基本不考，所以不用关注了。