IGCSE数学0580：数论基础题拿满分？质数与因数的考点全解析

一、基本概念辨析：先弄清这些定义

质数（素数）：

• 定义：只有1和它本身两个因数的自然数（≥2）

• 最小质数：2（唯一的偶质数）

• 100以内质数（25个）：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

• 重要考点：1不是质数也不是合数

因数与倍数：

• 因数（约数）：能整除给定数的数

• 倍数：一个数乘以整数得到的结果

• 关系：若a是b的因数，则b是a的倍数

合数：至少有三个因数的自然数（≥4）

二、质因数分解：考试的“常客”

分解方法：

1. 短除法：从小到大用质数试除

2. 树状图法：将数分解为两个因数，继续分解直至全为质数

标准形式：将分解结果写成质数的幂次乘积
例：72 = 2³ × 3²

考试要求：

• 必须分解到全部为质数

• 通常要求写成指数形式

• 可能需要找出特定质因数的幂次

三、最高公因数与最低公倍数：两种求法

概念理解：

• HCF（最高公因数）：多个数共有的最大因数

• LCM（最低公倍数）：多个数共有的最小倍数

求法一：质因数分解法（最常用）

1. 将每个数分解为质因数

2. 求HCF：取共有质因数的最低幂次

3. 求LCM：取所有质因数的最高幂次

例：求24和36的HCF和LCM
24 = 2³ × 3¹
36 = 2² × 3²
HCF = 2² × 3¹ = 12（取最低幂次）
LCM = 2³ × 3² = 72（取最高幂次）

求法二：短除法（适用于两个数）
用公有质因数连续除，直至互质。

四、因数个数公式：快速计算方法

公式：
若 N = p₁ᵃ × p₂ᵇ × ... × pₙᵏ（质因数分解式）
则N的因数个数 = (a+1)(b+1)...(k+1)

示例：
72 = 2³ × 3²
因数个数 = (3+1)(2+1) = 4×3 = 12个

考试应用：

• 直接求因数个数

• 判断完全平方数（所有指数均为偶数时，因数为奇数个）

五、典型考题形式与解题策略

题型1：基本概念判断题
“判断下列说法是否正确：1是所有数的因数。”

解题：正确。1能整除任何整数。

题型2：质因数分解题
“将180分解为质因数的乘积。”

解题：180 = 2² × 3² × 5

题型3：HCF与LCM应用题
“两盏灯分别每6秒和8秒闪一次，何时同时闪？”

解题：求LCM(6,8)=24，即24秒后同时闪。

题型4：文字解释题
“解释为什么91不是质数。”

解题：91=7×13，有除了1和91外的因数。

六、特殊数性质：必须掌握的规律

完全平方数：

• 质因数分解中所有指数均为偶数

• 平方根的质因数指数为原数的一半

奇偶性：

• 偶数×任何数=偶数

• 奇数×奇数=奇数

• 质数中只有2是偶数

整除规则：

• 被2整除：末位为0,2,4,6,8

• 被3整除：各位数字和能被3整除

• 被5整除：末位为0或5

• 被9整除：各位数字和能被9整除

七、考试易错点与避坑指南

错误1：将1归为质数

• 纠正：1只有一个因数，不满足质数定义

错误2：混淆因数与倍数

• 记忆：小的叫因数，大的叫倍数

错误3：质因数分解不彻底

• 检查：所有因数是否为质数

错误4：HCF与LCM求法混淆

• 口诀：HCF取“最低”幂次，LCM取“最高”幂次

错误5：忽略指数形式

• 注意：题目是否要求aⁿ形式

八、考前冲刺建议

最后一周复习重点：

1. 记忆质数表：至少熟记50以内质数

2. 强化分解能力：每天练习5个数的质因数分解

3. 应用专题训练：集中练习HCF/LCM应用题

4. 错题重做：特别关注概念理解错误

计算技巧：

• 大数分解时，从最小质数2开始试除

• 判断质数只需试除到√n即可

• 检查HCF是否正确：HCF应能整除所有原数

• 检查LCM是否正确：所有原数应能整除LCM

考试时间分配：基础数论题每题应在2-4分钟内完成。

终极提示：数论题目考查的是概念的准确理解和基本运算能力。题目本身不难，但需要细心。确保在考试开始时保持头脑清醒，先拿下这些基础分数，为后续难题争取时间。

现在，请尝试：将96分解为质因数，并求出它的所有因数个数。通过这样的练习，巩固你的数论基础！