从初赛到决赛：袋鼠数学三大模块公式，全程通用不踩坑

袋鼠数学初赛拼基础、决赛拼技巧，但核心公式全程通用！很多孩子初赛能拿分，决赛却掉档，不是因为公式不会，而是没掌握 “初赛保底用法 + 决赛拔高用法”。这份公式指南覆盖计算、几何、应用三大模块，标注每个公式的 “适用阶段、双阶段用法、避坑要点”，让孩子从初赛到决赛一套公式用到底，不踩适配坑！

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一、袋鼠数学计算模块：全程通用公式（初赛保分 + 决赛拔高）

1. 乘法分配律（★★★★★ 全程核心）

📌 示例：\(12×3 + 12×7 = 12×(3+7)=120\)（初赛高频题）

📌 示例：\(99×5 + 5 = 99×5 + 1×5 = (99+1)×5=500\)（决赛常考 “隐藏 1 倍”）

2. 等差数列求和（★★★★★ 全程必考）

📌 示例：\(1+2+3+...+10 = (1+10)×10÷2=55\)

📌 示例：\(2+4+6+...+20\)（项数 10）→\((2+20)×10÷2=110\)；\(3+6+9+...+30\)（项数 10）→\((3+30)×10÷2=165\)

3. 周期问题速解（★★★★ 全程高频）

📌 示例：数列 1,2,1,2... 第 15 项→周期 2，15÷2 余 1→第 1 项 = 1

📌 示例：“A1B2C3A1B2C3...” 第 17 项→拆分为字母周期（ABC，3 个）和数字周期（123，3 个），17÷3 余 2→字母 B、数字 2→B2

4. 植树问题全场景（★★★★ 全程通用）

📌 示例：10 米小路，每 2 米种 1 棵（两端种）→间隔数 5，棵数 = 5+1=6

📌 示例：20 米环形花坛 + 10 米直线小路（两端连花坛），每 2 米种 1 棵→环形棵数 10，直线棵数 = 5（间隔数）→总棵数 10+5=15

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二、袋鼠数学几何模块：全程通用公式（初赛基础 + 决赛技巧）

1. 基础图形面积 / 周长（★★★★★ 全程必背）

图形	周长公式	面积公式	初赛用法（保底）	决赛用法（拔高）
长方形	\(C=2×(长+宽)\)	\(S=长×宽\)	直接套公式计算规则图形	割补法算缺角 / 重叠图形（如缺角长方形 = 完整面积 - 缺口面积）
三角形	\(C=三边之和\)	\(S=底×高÷2\)	基础底高计算（直角三角形优先用直角边当底高）	等积变换（同底等高面积相等）、钝角三角形高的延长计算
圆形	\(C=2πr\)（或\(πd\)）	\(S=πr²\)（\(π\)取 3/3.14）	完整圆计算	半圆（周长 = 圆周长一半 + 直径）、圆环（面积 = 大圆 - 小圆）
平行四边形	\(C=2×(邻边1+邻边2)\)	\(S=底×高\)	基础底高计算	复杂底高（如斜边当底时找对应高）、与三角形组合图形

2. 组合图形核心技巧（★★★★ 决赛拔高关键）

📌 示例：长方形长 8cm、宽 5cm，内部三角形底 8cm、高 3cm→阴影面积 = 8×5 - 8×3÷2=40-12=28cm²

📌 示例：正方形边长 6cm，内接最大圆，圆内接最大正方形→阴影面积 = 大圆面积 - 小圆内正方形面积 = 3×3² - (6×3÷2×2)=27-18=9cm²

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三、应用模块：全程通用公式（初赛基础 + 决赛拓展）

1. 行程问题（★★★★★ 全程核心）

📌 示例：甲速 4km/h，乙速 6km/h，相距 20km 相向而行→相遇时间 = 20÷(4+6)=2 小时

📌 示例：甲从 A 到 B（12km），速度 3km/h，中途休息 1 小时；乙从 B 到 A，速度 2km/h→相遇时间 =（12-2×1）÷(3+2)+1=2+1=3 小时（先算甲休息时乙走的路程）

2. 折扣 / 利润问题（★★★★ 全程高频）

📌 示例：原价 150 元，打 8 折→现价 = 150×0.8=120 元；成本 80 元，售价 100 元→利润 = 20 元

📌 示例：原价 200 元，先打 9 折再打 8 折→现价 = 200×0.9×0.8=144 元；成本 50 元，卖 10 件以下利润率 20%，10 件以上利润率 30%，卖 15 件→总利润 = 15×50×30%=225 元

3. 年龄 / 鸡兔同笼 / 比例问题（★★★★ 全程通用）

题型	核心公式	初赛用法（保底）	决赛用法（拔高）
年龄问题	年龄差 = 今年差 = 明年差（不变）	基础年龄差计算	多人年龄差、倒推年龄（如 “5 年前甲是乙的 3 倍”）
鸡兔同笼	兔数 =(总脚数 - 2× 总头数)÷(4-2)；鸡数 = 总头数 - 兔数	基础两动物同笼	多动物同笼（如鸡、兔、鸭，先归为两类）
比例问题	部分量 = 总量 ×(对应比例 ÷ 总比例)	基础比例分配（如钱、物分配）	比例变化（如 “甲：乙 = 2:3，甲加 4 后变为 3:4”）

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四、全程通用使用策略（初赛→决赛无缝衔接）