袋鼠数学竞赛不考偏题难题，核心得分点全在基础公式的灵活运用！这份公式汇总覆盖计算、几何、应用三大模块所有高频考点，每一个公式都配 “直白解读 + 1 道极简例题”，孩子背完就能用，家长可直接打印成纸质版，方便孩子随身记、随时查～
一、袋鼠数学计算模块：基础运算 + 实用技巧（必背 20 个）
（一）核心运算公式（6 个）
- 加法交换律：\(a + b = b + a\)
✨ 解读：换位置，和不变（凑整专用）
📌 例题：\(18 + 25 + 82 = 18 + 82 + 25 = 125\)
- 加法结合律：\((a + b) + c = a + (b + c)\)
✨ 解读：先凑整，再相加
📌 例题：\(23 + 46 + 54 = 23 + (46 + 54) = 123\)
- 乘法交换律：\(a × b = b × a\)
✨ 解读：换因数位置，积不变
📌 例题：\(15 × 4 × 25 = 15 × (4 × 25) = 1500\)
- 乘法结合律：\((a × b) × c = a × (b × c)\)
✨ 解读：先凑整十 / 百，再相乘
📌 例题：\(8 × 37 × 125 = 37 × (8 × 125) = 37000\)
- 乘法分配律：\(a × (b + c) = a×b + a×c\)
✨ 解读：提取公共数，简化计算（高频考点）
📌 例题：\(12 × 3 + 12 × 7 = 12 × (3 + 7) = 120\)
- 等差数列求和：\(S = （首项 + 末项）× 项数 ÷ 2\)
✨ 解读：连续数字、规律间隔求和专用
📌 例题：\(1 + 2 + 3 + ... + 10 = （1 + 10）× 10 ÷ 2 = 55\)
（二）实用技巧公式（14 个）
- 植树问题（直线）：
📌 例题：10 米小路，每 2 米种 1 棵（两端都种）→ 间隔数 5 → 棵数 6
- 植树问题（环形）：棵数 = 间隔数
📌 例题：圆形花坛周长 20 米，每 4 米种 1 棵 → 棵数 5
- 周期问题：第 n 项 = 周期内第（n÷ 周期长度的余数）项（余数 0 为最后一项）
📌 例题：数列 1,2,3,1,2,3... 第 17 项 → 周期 3 → 17÷3 余 2 → 第 2 项 = 2
- 平均数公式：平均数 = 总数 ÷ 份数
📌 例题：3 次考试得分 85、90、95 → 平均数 =（85+90+95）÷3=90
- 最大公约数（GCD）：列举法 / 短除法（袋鼠数学只考简单数字）
📌 例题：12 和 18 的 GCD → 6
- 最小公倍数（LCM）：列举法 / 短除法
📌 例题：4 和 6 的 LCM → 12
- 2、3、5 的整除规则：
- 平方数公式：\(1²=1\)，\(2²=4\)，...，\(10²=100\)（背熟 1-10 平方）
- 立方数公式：\(1³=1\)，\(2³=8\)，...，\(5³=125\)（背熟 1-5 立方）
- 分数加减：同分母分子相加减，异分母先通分再计算
📌 例题：\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\)
- 分数乘法：分子 × 分子，分母 × 分母，能约分先约分
📌 例题：\(\frac{2}{3} × \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\)
- 百分数与小数互化：
-
- 百分数→小数：去掉 %，小数点左移两位（如 25%=0.25）
-
- 小数→百分数：小数点右移两位，加 %（如 0.3=30%）
- 百分数与分数互化：
-
- 百分数→分数：写成分母 100，约分（如 60%=\(\frac{3}{5}\)）
-
- 分数→百分数：先化成小数，再转百分数（如\(\frac{1}{4}\)=0.25=25%）
- 找规律公式：
-
- 递增数列：后项 = 前项 + 公差（如 2,4,6,8... 公差 2）
-
- 倍数数列：后项 = 前项 × 公比（如 3,6,12,24... 公比 2）
二、袋鼠数学几何模块：基础图形 + 组合图形（必背 15 个）
（一）基础图形公式（10 个）
|
图形 |
周长公式 |
面积公式 |
备注 |
|
长方形 |
\(C = 2×(长 + 宽)\) |
\(S = 长×宽\) |
袋鼠数学常考 “缺角长方形”，可割补 |
|
正方形 |
\(C = 4×边长\) |
\(S = 边长×边长\) |
边长用 a 表示，即\(C=4a\)，\(S=a²\) |
|
三角形 |
\(C = 三边之和\) |
\(S = 底×高÷2\) |
高是底对应的垂直高度 |
|
平行四边形 |
\(C = 2×(邻边1 + 邻边2)\) |
\(S = 底×高\) |
高垂直于底 |
|
梯形 |
\(C = 四边之和\) |
\(S = (上底 + 下底)×高÷2\) |
高是两底之间的垂直距离 |
|
圆形 |
\(C = 2×π×半径\)（或\(π×直径\)） |
\(S = π×半径×半径\) |
\(π\)取 3 或 3.14，题干会明确标注 |
|
菱形 |
\(C = 4×边长\) |
\(S = 对角线1×对角线2÷2\) |
较少考，了解即可 |
|
三角形内角和 |
- |
- |
内角和 = 180°（角度计算专用） |
|
长方形内角和 |
- |
- |
内角和 = 360°（角度计算专用） |
|
正方形内角和 |
- |
- |
每个内角 = 90°（角度计算专用） |
（二）组合图形技巧公式（5 个）
- 割补法：不规则图形 = 基础图形之和 / 差（如缺角长方形 = 完整长方形 - 小长方形）
📌 例题：求缺角长方形面积 → 先算完整长方形面积，再减去缺角小正方形面积
- 等积变换：
📌 例题：三角形 ABC 和三角形 ABD 同底 AB，等高 → 面积相等
- 阴影部分面积：
📌 例题：正方形内有一个最大圆，阴影是圆 → 面积 = 圆面积
- 立体图形表面积（基础）：
-
- 长方体表面积：\(2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)\)
📌 例题：边长 2cm 的正方体 → 表面积 = 6×2×2=24cm²
- 立体图形体积（基础）：
📌 例题：长 3cm、宽 2cm、高 1cm 的长方体 → 体积 = 3×2×1=6cm³
三、应用模块：生活场景 + 核心公式（必背 12 个）
- 行程问题基础：路程 = 速度 × 时间（\(S = v×t\)）
📌 例题：速度 5km/h，时间 3h → 路程 = 5×3=15km
- 相遇问题：总路程 = （甲速度 + 乙速度）× 相遇时间
📌 例题：甲速 3km/h，乙速 2km/h，相向而行 2h 相遇 → 总路程 =（3+2）×2=10km
- 追及问题：追及路程 = （快速度 - 慢速度）× 追及时间
📌 例题：快速 5km/h，慢速 3km/h，相距 4km → 追及时间 = 4÷(5-3)=2h
- 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间
📌 例题：效率 20 个 / 小时，工作 5 小时 → 总量 = 20×5=100 个
- 折扣问题：现价 = 原价 × 折扣（折扣用小数表示，如 8 折 = 0.8）
📌 例题：原价 100 元，打 7 折 → 现价 = 100×0.7=70 元
- 利润问题：利润 = 售价 - 成本；利润率 = （利润 ÷ 成本）×100%
📌 例题：成本 80 元，售价 100 元 → 利润 = 20 元，利润率 = 25%
- 浓度问题：浓度 = （溶质质量 ÷ 溶液质量）×100%（溶液 = 溶质 + 溶剂）
📌 例题：5g 盐溶于 95g 水 → 浓度 =（5÷100）×100%=5%
- 年龄问题：年龄差不变（今年差 = 明年差 = 往年差）
📌 例题：今年甲 10 岁，乙 15 岁 → 5 年后年龄差仍为 5 岁
- 鸡兔同笼问题：
-
- 假设全是鸡：兔的只数 = （总脚数 - 2× 总头数）÷（4-2）
-
- 假设全是兔：鸡的只数 = （4× 总头数 - 总脚数）÷（4-2）
📌 例题：头 10 个，脚 32 只 → 兔 =（32-2×10）÷2=6 只，鸡 = 4 只
- 比例问题：两数比 a:b，总量为 S → 第一数 = S×(a÷(a+b))，第二数 = S×(b÷(a+b))
📌 例题：甲：乙 = 2:3，总量 50 → 甲 = 20，乙 = 30
- 倍数问题：
📌 例题：甲是乙的 3 倍，乙 = 5 → 甲 = 5×3=15
- 时间问题：
-
- 1 小时 = 60 分钟，1 分钟 = 60 秒（单位换算）
📌 例题：开始 9:30，结束 11:15 → 经过 1 小时 45 分钟
四、打印版使用指南（家长必看）
- 打印建议：选择 A4 纸，分 3 页打印（计算模块 1 页、几何模块 1 页、应用模块 1 页），装订成小手册，方便孩子携带。
- 背诵方法：每天背 5-8 个公式，结合例题理解，不盲目死记；重点标注 “高频考点”（如乘法分配律、行程问题公式）。
- 使用场景：
-
- 错题后：对照公式找错误原因（如是否公式套用错误）；
-
- 考前 1 周：集中背诵高频公式，做 10 道真题套用巩固。
- 注意事项：袋鼠数学侧重 “公式灵活运用”，不是死记硬背，让孩子理解 “公式什么时候用、怎么用” 比背熟公式更重要。
|
