袋鼠数学竞赛的核心不是 “刷遍所有题”，而是 “吃透核心公式，灵活套用”！很多孩子刷了几十道题，却没掌握背后的公式逻辑，导致换道题就懵。这份通用公式集，聚焦计算、几何、应用三大高频模块，剔除复杂推导，只留 “直接能用” 的核心公式，搭配场景化例题和避坑提示，孩子照用就能解题，家长再也不用逼孩子死刷题！
一、袋鼠数学计算模块：10 个 “万能公式”，快速秒题不硬算
（一）基础运算公式（5 个，凑整 / 简化专用）
- 加法凑整公式：\(a + b + c = a + (b + c)\)（优先凑 10/100）
✅ 适用场景：三个数相加，其中两个数能凑整
📌 直接套用：\(38 + 45 + 62 = 38 + (45 + 62) = 38 + 107 = 145\) → 错！正确凑整：\(38 + 62 + 45 = 100 + 45 = 145\)
⚠️ 避坑：先找能凑整的数，再交换位置
- 乘法分配律拓展：\(a×b + a×c = a×(b + c)\)；\(a×b - a×c = a×(b - c)\)
✅ 适用场景：有相同因数的乘法加减混合运算（袋鼠数学高频考点）
📌 直接套用：\(15×7 + 15×3 = 15×(7 + 3) = 150\)；\(24×5 - 24×3 = 24×(5 - 3) = 48\)
- 等差数列求和简化公式：\(S = 中间数×项数\)（项数为奇数）；\(S = （首项+末项）×项数÷2\)（通用）
✅ 适用场景：连续数字、规律间隔数字求和（如 1+2+3+...+9；2+4+6+...+10）
📌 直接套用：\(1+2+3+4+5 = 3×5 = 15\)（中间数 3，项数 5）；\(2+4+6+8 = （2+8）×4÷2 = 20\)
- 倍数关系公式：
✅ 适用场景：“是几倍”“多几倍”“翻几番” 问题
📌 直接套用：小明有 5 块糖，小红是他的 3 倍 → \(5×3=15\)块；12 是 4 的几倍 → \(12÷4=3\)
- 分数 / 小数互化速记公式：
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- 常见分数→小数：\(\frac{1}{2}=0.5\)，\(\frac{1}{4}=0.25\)，\(\frac{1}{5}=0.2\)，\(\frac{3}{4}=0.75\)，\(\frac{2}{5}=0.4\)
✅ 适用场景：分数和小数混合运算，快速统一形式
📌 直接套用：\(\frac{1}{4} + 0.5 = 0.25 + 0.5 = 0.75\)
（二）实用技巧公式（5 个，场景化解题）
- 周期问题公式：位置\(n\)的答案 = 周期内第（\(n÷周期长度\)的余数）个（余数 0→最后一个）
✅ 适用场景：数字循环、图形规律、日期问题
📌 直接套用：数列 1,3,2,1,3,2... 第 19 项 → 周期 3 → \(19÷3=6\)余 1 → 第 1 项 = 1
- 植树问题（直线）公式：
✅ 适用场景：道路种树、排队报数、摆花盆
📌 直接套用：10 米小路，每 2 米种 1 棵（两端都种）→ \(10÷2 + 1=6\)棵
- 平均数公式：平均数 = 总数量 ÷ 总份数
✅ 适用场景：求平均分、平均速度、平均重量
📌 直接套用：3 次考试得分 88、92、90 → \((88+92+90)÷3=90\)
- 整除判断公式：
✅ 适用场景：快速判断数字能否整除，简化计算
📌 直接套用：判断 123 能否被 3 整除 → \(1+2+3=6\)，6 能被 3 整除→123 能整除
- 找规律公式：
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- 递增数列：后项 = 前项 + 公差（如 3,6,9... 公差 3）
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- 倍数数列：后项 = 前项 × 公比（如 2,6,18... 公比 3）
✅ 适用场景：按规律填数、求第 n 项
📌 直接套用：数列 5,8,11,14... 第 8 项 → 公差 3 → 第 8 项 = 5+(8-1)×3=26
二、几何模块：8 个 “核心公式”，图形题直接套答案
（一）基础图形公式（6 个，必背）
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图形 |
周长公式 |
面积公式 |
适用场景 |
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长方形 |
\(C = 2×(长+宽)\) |
\(S = 长×宽\) |
规则长方形、缺角长方形（割补后） |
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正方形 |
\(C = 4×边长\) |
\(S = 边长×边长\) |
正方形、菱形（边长相等时） |
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三角形 |
\(C = 三边之和\) |
\(S = 底×高÷2\) |
任意三角形、直角三角形 |
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平行四边形 |
\(C = 2×(邻边1+邻边2)\) |
\(S = 底×高\) |
平行四边形、长方形（特殊情况） |
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圆形 |
\(C = π×直径\)（\(π\)取 3 或 3.14） |
\(S = π×半径×半径\) |
完整圆、半圆（周长 = 圆周长一半 + 直径） |
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梯形 |
\(C = 四边之和\) |
\(S = (上底+下底)×高÷2\) |
等腰梯形、直角梯形 |
✅ 直接套用示例：
- 长方形长 5cm，宽 3cm → 周长\(2×(5+3)=16\)cm，面积\(5×3=15\)cm²
- 三角形底 6cm，高 4cm → 面积\(6×4÷2=12\)cm²
⚠️ 避坑：三角形的高必须垂直于底，圆的\(π\)值题干会标注（优先用 3 简化计算）
（二）组合图形技巧公式（2 个，复杂图形秒解）
- 割补法公式：不规则图形面积 = 基础图形面积和 / 差
✅ 适用场景：缺角图形、阴影部分面积（非规则）
📌 直接套用：缺角长方形（完整长 8cm，宽 5cm，缺角是边长 2cm 的正方形）→ 面积 = 8×5 - 2×2=36cm²
- 等积变换公式：同底等高的三角形 / 平行四边形面积相等
✅ 适用场景：阴影部分面积（无法直接计算时）
📌 直接套用：平行四边形内有一点连接各顶点，阴影三角形与平行四边形同底等高 → 阴影面积 = 平行四边形面积 ÷2
三、袋鼠数学应用模块：12 个 “场景公式”，生活题不用想直接解
（一）高频场景公式（8 个，必考）
- 行程问题基础公式：路程 = 速度 × 时间（\(S = v×t\)）
✅ 衍生公式：速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度
📌 直接套用：速度 6km/h，走了 2 小时 → 路程 = 6×2=12km
- 相遇问题公式：总路程 = （甲速度 + 乙速度）× 相遇时间
✅ 适用场景：两人 / 两车相向而行
📌 直接套用：甲速 5km/h，乙速 3km/h，相距 16km → 相遇时间 = 16÷(5+3)=2 小时
- 折扣问题公式：现价 = 原价 × 折扣（折扣→小数：8 折 = 0.8，75 折 = 0.75）
✅ 适用场景：购物打折、促销活动
📌 直接套用：原价 200 元，打 8 折 → 现价 = 200×0.8=160 元
- 年龄问题公式：年龄差 = 今年差 = 明年差 = 往年差（永远不变）
✅ 适用场景：求几年前 / 后两人年龄关系
📌 直接套用：今年甲 12 岁，乙 8 岁 → 5 年后年龄差 = 12-8=4 岁
- 鸡兔同笼公式：
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- 兔的只数 = （总脚数 - 2× 总头数）÷(4-2)
✅ 适用场景：两种动物同笼，求各自数量
📌 直接套用：头 10 个，脚 32 只 → 兔 =(32-2×10)÷2=6 只，鸡 = 4 只
- 比例问题公式：部分量 = 总量 ×（对应比例 ÷ 总比例）
✅ 适用场景：按比例分配钱、物、人数
📌 直接套用：甲：乙 = 3:2，总量 50 元 → 甲 = 50×(3÷5)=30 元，乙 = 20 元
- 浓度问题公式：浓度 = （溶质质量 ÷ 溶液质量）×100%（溶液 = 溶质 + 溶剂）
✅ 适用场景：盐水、糖水浓度计算（袋鼠数学仅考基础）
📌 直接套用：10g 盐溶于 90g 水 → 浓度 =(10÷100)×100%=10%
- 工程问题公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间
✅ 适用场景：修路、做零件、完成任务等问题
📌 直接套用：效率 15 个 / 小时，做 4 小时 → 总量 = 15×4=60 个
（二）基础场景公式（4 个，易得分）
- 时间问题公式：经过时间 = 结束时间 - 开始时间（单位统一）
📌 直接套用：开始 8:30，结束 10:15 → 经过 1 小时 45 分钟
- 利润问题公式：利润 = 售价 - 成本；利润率 = （利润 ÷ 成本）×100%
📌 直接套用：成本 50 元，售价 70 元 → 利润 = 20 元，利润率 = 40%
- 倍数问题公式：
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- 多几倍 = 是几倍 - 1（如甲是乙的 3 倍，甲比乙多 2 倍）
📌 直接套用：乙有 5 个，甲比乙多 3 倍 → 甲 = 5×(3+1)=20 个
- 计数问题公式：
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- 分类计数（加法）：总情况 = 第一类情况 + 第二类情况
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- 分步计数（乘法）：总情况 = 第一步情况 × 第二步情况
📌 直接套用：从 A 到 B 有 2 条路，从 B 到 C 有 3 条路 → 总路线 = 2×3=6 条
四、公式 “直接照用” 的 3 个关键技巧（提分核心）
- 先判题型再套公式：拿到题先看 “属于计算 / 几何 / 应用”，再找对应场景（如 “相遇”→行程公式，“打折”→折扣公式），不盲目计算。
- 跳过复杂推导：袋鼠数学不考公式由来，只要记住 “什么时候用、怎么代入数字”，比如知道是等差数列，直接套求和公式，不用推导原理。
- 用例题验证公式：每背一个公式，立刻做 1 道对应例题，确保 “会套、套对”，比如背完相遇公式，马上做 1 道简单相遇题，巩固记忆。
五、袋鼠数学公式使用禁忌
❌ 不背超纲公式：袋鼠数学只考基础公式，不用记三角函数、勾股定理进阶等复杂公式，反而增加记忆负担。
❌ 不盲目套公式：先看题干场景，比如 “环形植树” 和 “直线植树” 公式不同，避免张冠李戴。
✅ 优先用简化值：比如\(π\)取 3、分数凑整，袋鼠数学允许合理估算，快速得出答案即可。
不用死刷题，掌握这些通用公式，孩子就能应对袋鼠数学 90% 以上的考题！家长可以把这份公式集打印出来，让孩子每天背 3-5 个，结合例题练习，很快就能实现 “公式在手，解题无忧”～ 如果需要领取《袋鼠数学公式配套练习题》（每道题对应 1 个公式，直接套用），留言 “公式练习” 即可免费安排！
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